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AP微积分2013 AB第5题(b)：旋转体体积的积分构造

AP微积分2013 AB第5题(b)：旋转体体积的积分构造
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2016-06-26 22:16
函数数列立体几何微积分积分
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该范例演示了如何通过GeoGebra动态构造AP微积分2013年AB卷第五题(b)中的旋转体体积问题。它围绕一个平面区域绕轴旋转形成的立体，利用积分与矩形和（RectangleSum）近似来可视化体积的累积过程。核心数学概念包括定积分、旋转体体积公式（圆盘法/壳法）、函数图像与面积分割。作图要点包括使用Sequence生成序列、Polygon构造多边形、Rotate实现旋转、Integral计算定积分、Surface生成旋转曲面，以及RectangleSum创建矩形近似条；对象涉及函数f、旋转轴、矩形序列、内外侧面及体积积分表达式。适合高中高年级或大学预科微积分课程，用于直观理解旋转体体积的几何意义与数值逼近方法。

GeoGebra 命令及参数

  1. Sequence(Polygon[((k * h), f(((k + p) * h))), (((k + 1) * h), f(((k + p) * h))), (((k + 1) * h), g(((k + p) * h))), ((k * h), g(((k + p) * h)))], k, 0, m - 1) → Rectangles
  2. Polygon(((DK * h), g(((DK + p) * h))), (((DK + 1) * h), g(((DK + p) * h))), (((DK + 1) * h), f(((DK + p) * h))), ((DK * h), f(((DK + p) * h)))) → Rectangle1, b, c, d, e
  3. Rotate(Rectangle1, α, a) → Rectangle1'
  4. Integral((π * ((4 - f(x))^(2) - (4 - g(x))^(2))), 0, 2) → VolInteg
  5. Rotate(f_1, α, a) → i
  6. Rotate(g_1, α, a) → j
  7. Surface(((DK + 1) * h), 4 - ((4 - u) * cos(β)), ((4 - u) * sin(β)), u, f(((DK + p) * h)), g(((DK + p) * h)), β, 0, α) → SideRight1
  8. Surface((DK * h), 4 - ((4 - u) * cos(β)), ((4 - u) * sin(β)), u, f(((DK + p) * h)), g(((DK + p) * h)), β, 0, α) → SideLeft1
  9. Surface(u, 4 - ((4 - f(((DK + p) * h))) * cos(β)), ((4 - f(((DK + p) * h))) * sin(β)), u, (DK * h), ((DK + 1) * h), β, 0, α) → Outer1
  10. Surface(u, 4 - ((4 - g(((DK + p) * h))) * cos(β)), ((4 - g(((DK + p) * h))) * sin(β)), u, (DK * h), ((DK + 1) * h), β, 0, α) → Inner1
  11. Rotate(Rectangles, α, a) → Rectangles'
  12. Surface(u, 4 - ((4 - g(u)) * cos(β)), ((4 - g(u)) * sin(β)), u, 0, 2, β, 0, (2 * π)) → Inner
  13. Surface(u, 4 - ((4 - f(u)) * cos(β)), ((4 - f(u)) * sin(β)), u, 0, 2, β, 0, (2 * π)) → Outer
  14. Sequence(Surface[u, 4 - ((4 - g(((k + p) * h))) * cos(β)), ((4 - g(((k + p) * h))) * sin(β)), u, (k * h), ((k + 1) * h), β, 0, α], k, 0, m - 1) → Inners
  15. Sequence(Surface[u, 4 - ((4 - f(((k + p) * h))) * cos(β)), ((4 - f(((k + p) * h))) * sin(β)), u, (k * h), ((k + 1) * h), β, 0, α], k, 0, m - 1) → Outers
  16. Sequence(Surface[(k * h), 4 - ((4 - u) * cos(β)), ((4 - u) * sin(β)), u, f(((k + p) * h)), g(((k + p) * h)), β, 0, α], k, 0, m - 1) → SidesLeft
  17. Sequence(Surface[((k + 1) * h), 4 - ((4 - u) * cos(β)), ((4 - u) * sin(β)), u, f(((k + p) * h)), g(((k + p) * h)), β, 0, α], k, 0, m - 1) → SidesRight
  18. RectangleSum(A, 0, (m * h), m, p) → WS