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AP微积分2010AB_4b旋转体体积问题

AP微积分2010AB_4b旋转体体积问题
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2016-06-26 22:27
函数数列立体几何微积分积分
所属专题 Volumes in AP Calculus Volumes in AP Calculus
该范例演示了如何通过旋转平面区域生成三维立体并计算其体积，是AP微积分AB卷2010年第4题(b)部分的动态可视化。核心数学概念包括定积分求旋转体体积（圆盘法/垫圈法）、函数图像与旋转轴的关系，以及体积积分的几何构造。作图要点：利用GeoGebra的Sequence、Polygon、Rotate命令生成旋转截面，通过Integral和Surface命令计算并显示体积积分与旋转曲面，使用RectangleSum和Rectangle对象展示黎曼和逼近过程，同时包含Inner、Outer等对象表示垫圈法的内外半径。适合高中AP微积分课程或大学微积分入门阶段，用于直观理解旋转体体积公式的推导与计算。

GeoGebra 命令及参数

  1. Sequence(Polygon[((k * h), f(((k + p) * h))), (((k + 1) * h), f(((k + p) * h))), (((k + 1) * h), g(((k + p) * h))), ((k * h), g(((k + p) * h)))], k, 0, m - 1) → Rectangles
  2. Polygon(((DK * h), f(((DK + p) * h))), (((DK + 1) * h), f(((DK + p) * h))), (((DK + 1) * h), g(((DK + p) * h))), ((DK * h), g(((DK + p) * h)))) → Rectangle1, b, c, d, e
  3. Rotate(Rectangle1, α, a) → Rectangle1'
  4. Integral((π * ((7 - f(x))^(2) - (7 - g(x))^(2))), 0, 9) → VolInteg
  5. Rotate(Rectangles, α, a) → Rectangles'
  6. Rotate(g_1, α, a) → i
  7. Rotate(f_1, α, a) → j
  8. Surface(u, 7 - ((7 - g(((DK + p) * h))) * cos(β)), ((7 - g(((DK + p) * h))) * sin(β)), u, (DK * h), ((DK + 1) * h), β, 0, α) → Inner1
  9. Surface(u, 7 - ((7 - f(((DK + p) * h))) * cos(β)), ((7 - f(((DK + p) * h))) * sin(β)), u, (DK * h), ((DK + 1) * h), β, 0, α) → Outer1
  10. Surface((DK * h), 7 - ((7 - u) * cos(β)), ((7 - u) * sin(β)), u, f(((DK + p) * h)), g(((DK + p) * h)), β, 0, α) → SideLeft1
  11. Surface(((DK + 1) * h), 7 - ((7 - u) * cos(β)), ((7 - u) * sin(β)), u, f(((DK + p) * h)), g(((DK + p) * h)), β, 0, α) → SideRight1
  12. Surface(u, 7 + ((7 - g(u)) * cos(β)), ((7 - g(u)) * sin(β)), u, 0, 9, β, 0, (2 * π)) → Inner
  13. Surface(u, 7 - ((7 - f(u)) * cos(β)), ((7 - f(u)) * sin(β)), u, 0, 9, β, 0, (2 * π)) → Outer
  14. Segment((0, 0, 0), (0, 6, 0)) → k
  15. Rotate(k, α, a) → k'
  16. Sequence(Surface[u, 7 - ((7 - g(((k + p) * h))) * cos(β)), ((7 - g(((k + p) * h))) * sin(β)), u, (k * h), ((k + 1) * h), β, 0, α], k, 0, m - 1) → Inners
  17. Sequence(Surface[u, 7 - ((7 - f(((k + p) * h))) * cos(β)), ((7 - f(((k + p) * h))) * sin(β)), u, (k * h), ((k + 1) * h), β, 0, α], k, 0, m - 1) → Outers
  18. Sequence(Surface[(k * h), 7 - ((7 - u) * cos(β)), ((7 - u) * sin(β)), u, f(((k + p) * h)), g(((k + p) * h)), β, 0, α], k, 0, m - 1) → SidesLeft
  19. Sequence(Surface[((k + 1) * h), 7 - ((7 - u) * cos(β)), ((7 - u) * sin(β)), u, f(((k + p) * h)), g(((k + p) * h)), β, 0, α], k, 0, m - 1) → SidesRight
  20. RectangleSum(A, 0, (m * h), m, p) → WS