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Kuen曲面参数方程构建与面积积分

Kuen曲面参数方程构建与面积积分
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2023-03-15 20:40
数列立体几何微积分积分参数方程
所属专题 geometriadinamica.es
本范例演示了著名Kuen曲面的构造方法。Kuen曲面是一种经典的光滑曲面，由德国数学家Kuen于1884年提出。核心数学概念包括参数方程表示、曲线曲面积分、曲线的参数化与离散化处理。作图要点：使用CurveCartesian命令定义参数化曲线，通过Sequence命令生成曲面网格点，借助Segment构造线段、Point放置关键点、Ellipse绘制椭圆截面，利用Circle、Intersect、Angle等命令完成辅助几何构造，最后通过积分计算曲面面积。适合高等数学、解析几何、微积分课程教学，也可用于数学建模竞赛培训，帮助学生理解参数曲面与重积分的几何意义。

GeoGebra 命令及参数

  1. Segment(Q5, Q6) → p5
  2. Point(p5) → P5
  3. Segment(Q3, Q4) → p2
  4. Point(p2) → P3
  5. Segment(P3, Q4) → p4
  6. Point(p4) → P4
  7. Segment(Q1, Q2) → p1
  8. Point(p1) → P1
  9. Segment(P1, Q2) → p3
  10. Point(p3) → P2
  11. OrthogonalLine(C, yAxis) → zz1
  12. Circle(C, 0.62) → zz0
  13. Intersect(zz0, zz1, 1) → ZZ1
  14. Intersect(zz0, zz1, 2) → ZZ2
  15. Ellipse(ZZ1, ZZ2, 0.65) → zElipse1
  16. Intersect(zElipse1, zz1) → ZZ5, ZZ6
  17. Point(zElipse1) → XY
  18. Angle(ZZ6, C, XY) → zAngRot
  19. OrthogonalLine(C, xAxis) → zz2
  20. Intersect(zz0, zz2, 2) → ZZ3
  21. Intersect(zz0, zz2, 1) → ZZ4
  22. Ellipse(ZZ3, ZZ4, 0.65) → zElipse2
  23. Intersect(zElipse2, zz2) → ZZ7, ZZ8
  24. Point(zElipse2) → Z
  25. Angle(ZZ8, C, Z) → zAngInc
  26. CurveCartesian((r / 1.5 * ((((2 * cos(u)) + (u * sin(u))) / (1 + u^(2)) * sin(zAngRot)) + ((2 * (((-u) * cos(u)) + sin(u)) / (1 + u^(2))) * cos(zAngRot)))), (r / 1.5 * (((((-((2 * cos(u)) + (u * sin(u))))) / (1 + u^(2)) * cos(zAngRot)) * sin(zAngInc)) + (((2 * (((-u) * cos(u)) + sin(u)) / (1 + u^(2))) * sin(zAngRot)) * sin(zAngInc)))), u, u1, u2) → curva1
  27. Segment(ZZ5, ZZ6) → zz4
  28. Segment(ZZ7, ZZ8) → zz3
  29. Intersect(zElipse2, zElipse1, 1) → zPunto1
  30. Intersect(zElipse2, zElipse1, 4) → zPunto2
  31. Segment(zPunto1, zPunto2) → zSeg2
  32. CurveCartesian((r / 1.5 * (((((2 * cosh(v)) * cos(α)) + (α * sin(α))) / ((cosh(v))^(2) + α^(2)) * sin(zAngRot)) + (((2 * cosh(v)) * (((-α) * cos(α)) + sin(α)) / ((cosh(v))^(2) + α^(2))) * cos(zAngRot)))), (r / 1.5 * (((((-(((2 * cosh(v)) * cos(α)) + (α * sin(α))))) / ((cosh(v))^(2) + α^(2)) * cos(zAngRot)) * sin(zAngInc)) + ((((2 * cosh(v)) * (((-α) * cos(α)) + sin(α)) / ((cosh(v))^(2) + α^(2))) * sin(zAngRot)) * sin(zAngInc)) + ((v - ((2 * sinh(v)) * cosh(v))) / ((cosh(v))^(2) + α^(2)) * cos(zAngInc)))), v, v1, v2) → curva2
  33. CurveCartesian((r / 1.5 * (((((2 * cosh(β)) * cos(u)) + (u * sin(u))) / ((cosh(β))^(2) + u^(2)) * sin(zAngRot)) + (((2 * cosh(β)) * (((-u) * cos(u)) + sin(u)) / ((cosh(β))^(2) + u^(2))) * cos(zAngRot)))), (r / 1.5 * (((((-(((2 * cosh(β)) * cos(u)) + (u * sin(u))))) / ((cosh(β))^(2) + u^(2)) * cos(zAngRot)) * sin(zAngInc)) + ((((2 * cosh(β)) * (((-u) * cos(u)) + sin(u)) / ((cosh(β))^(2) + u^(2))) * sin(zAngRot)) * sin(zAngInc)) + ((β - ((2 * sinh(β)) * cosh(β))) / ((cosh(β))^(2) + u^(2)) * cos(zAngInc)))), u, u1, u2) → a
  34. Sequence(CurveCartesian[(r / 1.5 * (((((2 * cosh(v)) * cos(u)) + (u * sin(u))) / ((cosh(v))^(2) + u^(2)) * sin(zAngRot)) + (((2 * cosh(v)) * (((-u) * cos(u)) + sin(u)) / ((cosh(v))^(2) + u^(2))) * cos(zAngRot)))), (r / 1.5 * (((((-(((2 * cosh(v)) * cos(u)) + (u * sin(u))))) / ((cosh(v))^(2) + u^(2)) * cos(zAngRot)) * sin(zAngInc)) + ((((2 * cosh(v)) * (((-u) * cos(u)) + sin(u)) / ((cosh(v))^(2) + u^(2))) * sin(zAngRot)) * sin(zAngInc)) + ((v - ((2 * sinh(v)) * cosh(v))) / ((cosh(v))^(2) + u^(2)) * cos(zAngInc)))), u, u1, u2], v, v1, v2, paso) → list3
  35. Sequence(CurveCartesian[(r / 1.5 * (((((2 * cosh(v)) * cos(u)) + (u * sin(u))) / ((cosh(v))^(2) + u^(2)) * sin(zAngRot)) + (((2 * cosh(v)) * (((-u) * cos(u)) + sin(u)) / ((cosh(v))^(2) + u^(2))) * cos(zAngRot)))), (r / 1.5 * (((((-(((2 * cosh(v)) * cos(u)) + (u * sin(u))))) / ((cosh(v))^(2) + u^(2)) * cos(zAngRot)) * sin(zAngInc)) + ((((2 * cosh(v)) * (((-u) * cos(u)) + sin(u)) / ((cosh(v))^(2) + u^(2))) * sin(zAngRot)) * sin(zAngInc)) + ((v - ((2 * sinh(v)) * cosh(v))) / ((cosh(v))^(2) + u^(2)) * cos(zAngInc)))), v, v1, v2], u, u1, u2, paso) → list1

AI 绘图提示语参考

绘制库恩曲面：以参数表示的光滑曲面为核心，先给出两组参数曲线并用旋转角与倾斜角控制其在三维空间中的取向。建立位于基准圆与与基准直线正交方向的交点，用以形成两条椭圆截线；再在椭圆截线之间做相交得到关键边界点，并连接成线段。随后用双参数的三维曲线公式生成曲面网格点序列（含曲面两层参数取值范围），将其作为表面展开的离散采样。最后得到围合的曲面形状，可用于后续曲面积分的可视化理解。
以上提示语为根据原始绘图命令整理而来，仅供参考。