MathPlotAI Logo MathPlotAI

Impossible Figures

Impossible Figures
Loading the math board and drawing, please wait…
2019-04-28 20:21
PolygonTransformationGeometric Construction
This example demonstrates the construction of impossible figures. It involves geometric concepts such as polygons and transformations. Using GeoGebra commands like Sequence, Line, Polygon, Intersect, Rotate, etc., dynamic construction of these seemingly physically impossible shapes can be achieved. Suitable for high school and above students or teachers for teaching geometric construction and transformations.

GeoGebra Commands & Parameters

  1. Sequence((((d + 0.5) * cos((i / n * (2 * π)))), ((d + 0.5) * sin((i / n * (2 * π))))), i, 1, n) → L_3
  2. Line(Element[L_3, n - 1], Element[L_3, n]) → a3
  3. Sequence(((d * cos((i / n * (2 * π)))), (d * sin((i / n * (2 * π))))), i, 1, n) → L_2
  4. Line(Element[L_2, n], Element[L_2, 1]) → a2
  5. Sequence((cos((i / n * (2 * π))), sin((i / n * (2 * π)))), i, 1, n) → L_1
  6. Polygon(Sequence[Element[L_1, i], i, 1, n]) → p1
  7. Polygon(Sequence[Element[L_2, i], i, 1, n]) → p2
  8. Polygon(Sequence[Element[L_3, i], i, 1, n]) → p3
  9. Line(Element[L_1, 1], Element[L_1, 2]) → a1
  10. Line(Element[L_2, 1], Element[L_2, 2]) → a4
  11. Line(Element[L_1, 3], Element[L_1, 2]) → a5
  12. Line(Element[L_2, n], Element[L_2, n - 1]) → a6
  13. Line(Element[L_3, 1], Element[L_3, n]) → a7
  14. Intersect(a6, a7) → A2
  15. Intersect(a4, a7) → A1
  16. Intersect(a1, a2) → A4
  17. Intersect(a1, a5) → A5
  18. Intersect(a4, a5) → A6
  19. Intersect(a2, a3) → A3
  20. Polygon(A1, A2, A3, A4, A5, A6) → shape, a1_1, a2_1, a3_1, a4_1, a5_1, a6_1
  21. Rotate(A1, ((2 * π) * 1 / n), (0, 0)) → A1'
  22. Rotate(A2, ((2 * π) * 1 / n), (0, 0)) → A2'
  23. Rotate(A3, ((2 * π) * 1 / n), (0, 0)) → A3'
  24. Rotate(A4, ((2 * π) * 1 / n), (0, 0)) → A4'
  25. Rotate(A5, ((2 * π) * 1 / n), (0, 0)) → A5'
  26. Rotate(A6, ((2 * π) * 1 / n), (0, 0)) → A6'
  27. Rotate(A1, ((2 * π) * 2 / n), (0, 0)) → A1'_1
  28. Rotate(A2, ((2 * π) * 2 / n), (0, 0)) → A2'_1
  29. Rotate(A3, ((2 * π) * 2 / n), (0, 0)) → A3'_1
  30. Rotate(A4, ((2 * π) * 2 / n), (0, 0)) → A4'_1
  31. Rotate(A5, ((2 * π) * 2 / n), (0, 0)) → A5'_1
  32. Rotate(A6, ((2 * π) * 2 / n), (0, 0)) → A6'_1
  33. Rotate(A1, ((2 * π) * 3 / n), (0, 0)) → A1'_2
  34. Rotate(A2, ((2 * π) * 3 / n), (0, 0)) → A2'_2
  35. Rotate(A3, ((2 * π) * 3 / n), (0, 0)) → A3'_2
  36. Rotate(A4, ((2 * π) * 3 / n), (0, 0)) → A4'_2
  37. Rotate(A5, ((2 * π) * 3 / n), (0, 0)) → A5'_2
  38. Rotate(A6, ((2 * π) * 3 / n), (0, 0)) → A6'_2
  39. Rotate(A1, ((2 * π) * 4 / n), (0, 0)) → A1'_3
  40. Rotate(A2, ((2 * π) * 4 / n), (0, 0)) → A2'_3
  41. Rotate(A3, ((2 * π) * 4 / n), (0, 0)) → A3'_3
  42. Rotate(A4, ((2 * π) * 4 / n), (0, 0)) → A4'_3
  43. Rotate(A5, ((2 * π) * 4 / n), (0, 0)) → A5'_3
  44. Rotate(A6, ((2 * π) * 4 / n), (0, 0)) → A6'_3
  45. Rotate(A1, ((2 * π) * 5 / n), (0, 0)) → A1'_4
  46. Rotate(A2, ((2 * π) * 5 / n), (0, 0)) → A2'_4
  47. Rotate(A3, ((2 * π) * 5 / n), (0, 0)) → A3'_4
  48. Rotate(A4, ((2 * π) * 5 / n), (0, 0)) → A4'_4
  49. Rotate(A5, ((2 * π) * 5 / n), (0, 0)) → A5'_4
  50. Rotate(A6, ((2 * π) * 5 / n), (0, 0)) → A6'_4
  51. Rotate(A1, ((2 * π) * 6 / n), (0, 0)) → A1'_5
  52. Rotate(A2, ((2 * π) * 6 / n), (0, 0)) → A2'_5
  53. Rotate(A3, ((2 * π) * 6 / n), (0, 0)) → A3'_5
  54. Rotate(A4, ((2 * π) * 6 / n), (0, 0)) → A4'_5
  55. Rotate(A5, ((2 * π) * 6 / n), (0, 0)) → A5'_5
  56. Rotate(A6, ((2 * π) * 6 / n), (0, 0)) → A6'_5
  57. Rotate(A1, ((2 * π) * 7 / n), (0, 0)) → A1'_6
  58. Rotate(A2, ((2 * π) * 7 / n), (0, 0)) → A2'_6
  59. Rotate(A3, ((2 * π) * 7 / n), (0, 0)) → A3'_6
  60. Rotate(A4, ((2 * π) * 7 / n), (0, 0)) → A4'_6
  61. Rotate(A5, ((2 * π) * 7 / n), (0, 0)) → A5'_6
  62. Rotate(A6, ((2 * π) * 7 / n), (0, 0)) → A6'_6
  63. Rotate(A1, ((2 * π) * 0 / n), (0, 0)) → A1'_7
  64. Rotate(A2, ((2 * π) * 0 / n), (0, 0)) → A2'_7
  65. Rotate(A3, ((2 * π) * 0 / n), (0, 0)) → A3'_7
  66. Rotate(A4, ((2 * π) * 0 / n), (0, 0)) → A4'_7
  67. Rotate(A5, ((2 * π) * 0 / n), (0, 0)) → A5'_7
  68. Rotate(A6, ((2 * π) * 0 / n), (0, 0)) → A6'_7
  69. Polygon(Rotate[A1, ((2 * π) * 0 / n), (0, 0)], Rotate[A2, ((2 * π) * 0 / n), (0, 0)], Rotate[A3, ((2 * π) * 0 / n), (0, 0)], Rotate[A4, ((2 * π) * 0 / n), (0, 0)], Rotate[A5, ((2 * π) * 0 / n), (0, 0)], Rotate[A6, ((2 * π) * 0 / n), (0, 0)]) → T0, f, g, h, i, j, k
  70. Rotate(A1, ((2 * π) * 1 / n), (0, 0)) → A1'_8
  71. Rotate(A2, ((2 * π) * 1 / n), (0, 0)) → A2'_8
  72. Rotate(A3, ((2 * π) * 1 / n), (0, 0)) → A3'_8
  73. Rotate(A4, ((2 * π) * 1 / n), (0, 0)) → A4'_8
  74. Rotate(A5, ((2 * π) * 1 / n), (0, 0)) → A5'_8
  75. Rotate(A6, ((2 * π) * 1 / n), (0, 0)) → A6'_8
  76. Polygon(Rotate[A1, ((2 * π) * 1 / n), (0, 0)], Rotate[A2, ((2 * π) * 1 / n), (0, 0)], Rotate[A3, ((2 * π) * 1 / n), (0, 0)], Rotate[A4, ((2 * π) * 1 / n), (0, 0)], Rotate[A5, ((2 * π) * 1 / n), (0, 0)], Rotate[A6, ((2 * π) * 1 / n), (0, 0)]) → T1, l, m, p, q, r, s
  77. Rotate(A1, ((2 * π) * 2 / n), (0, 0)) → A1'_9
  78. Rotate(A2, ((2 * π) * 2 / n), (0, 0)) → A2'_9
  79. Rotate(A3, ((2 * π) * 2 / n), (0, 0)) → A3'_9
  80. Rotate(A4, ((2 * π) * 2 / n), (0, 0)) → A4'_9
  81. Rotate(A5, ((2 * π) * 2 / n), (0, 0)) → A5'_9
  82. Rotate(A6, ((2 * π) * 2 / n), (0, 0)) → A6'_9
  83. Polygon(Rotate[A1, ((2 * π) * 2 / n), (0, 0)], Rotate[A2, ((2 * π) * 2 / n), (0, 0)], Rotate[A3, ((2 * π) * 2 / n), (0, 0)], Rotate[A4, ((2 * π) * 2 / n), (0, 0)], Rotate[A5, ((2 * π) * 2 / n), (0, 0)], Rotate[A6, ((2 * π) * 2 / n), (0, 0)]) → T2, t, a, b, c, e, f_1
  84. Rotate(A1, ((2 * π) * 3 / n), (0, 0)) → A1'_{10}
  85. Rotate(A2, ((2 * π) * 3 / n), (0, 0)) → A2'_{10}
  86. Rotate(A3, ((2 * π) * 3 / n), (0, 0)) → A3'_{10}
  87. Rotate(A4, ((2 * π) * 3 / n), (0, 0)) → A4'_{10}
  88. Rotate(A5, ((2 * π) * 3 / n), (0, 0)) → A5'_{10}
  89. Rotate(A6, ((2 * π) * 3 / n), (0, 0)) → A6'_{10}
  90. Polygon(Rotate[A1, ((2 * π) * 3 / n), (0, 0)], Rotate[A2, ((2 * π) * 3 / n), (0, 0)], Rotate[A3, ((2 * π) * 3 / n), (0, 0)], Rotate[A4, ((2 * π) * 3 / n), (0, 0)], Rotate[A5, ((2 * π) * 3 / n), (0, 0)], Rotate[A6, ((2 * π) * 3 / n), (0, 0)]) → T3, g_1, h_1, i_1, j_1, k_1, l_1
  91. Rotate(A1, ((2 * π) * 4 / n), (0, 0)) → A1'_{11}
  92. Rotate(A2, ((2 * π) * 4 / n), (0, 0)) → A2'_{11}
  93. Rotate(A3, ((2 * π) * 4 / n), (0, 0)) → A3'_{11}
  94. Rotate(A4, ((2 * π) * 4 / n), (0, 0)) → A4'_{11}
  95. Rotate(A5, ((2 * π) * 4 / n), (0, 0)) → A5'_{11}
  96. Rotate(A6, ((2 * π) * 4 / n), (0, 0)) → A6'_{11}
  97. Polygon(Rotate[A1, ((2 * π) * 4 / n), (0, 0)], Rotate[A2, ((2 * π) * 4 / n), (0, 0)], Rotate[A3, ((2 * π) * 4 / n), (0, 0)], Rotate[A4, ((2 * π) * 4 / n), (0, 0)], Rotate[A5, ((2 * π) * 4 / n), (0, 0)], Rotate[A6, ((2 * π) * 4 / n), (0, 0)]) → T4, m_1, n_1, p_1, q_1, r_1, s_1
  98. Rotate(A1, ((2 * π) * 5 / n), (0, 0)) → A1'_{12}
  99. Rotate(A2, ((2 * π) * 5 / n), (0, 0)) → A2'_{12}
  100. Rotate(A3, ((2 * π) * 5 / n), (0, 0)) → A3'_{12}
  101. Rotate(A4, ((2 * π) * 5 / n), (0, 0)) → A4'_{12}
  102. Rotate(A5, ((2 * π) * 5 / n), (0, 0)) → A5'_{12}
  103. Rotate(A6, ((2 * π) * 5 / n), (0, 0)) → A6'_{12}
  104. Polygon(Rotate[A1, ((2 * π) * 5 / n), (0, 0)], Rotate[A2, ((2 * π) * 5 / n), (0, 0)], Rotate[A3, ((2 * π) * 5 / n), (0, 0)], Rotate[A4, ((2 * π) * 5 / n), (0, 0)], Rotate[A5, ((2 * π) * 5 / n), (0, 0)], Rotate[A6, ((2 * π) * 5 / n), (0, 0)]) → T5, t_1, a_1, b_1, c_1, d_1, e_1
  105. Rotate(A1, ((2 * π) * 6 / n), (0, 0)) → A1'_{13}
  106. Rotate(A2, ((2 * π) * 6 / n), (0, 0)) → A2'_{13}
  107. Rotate(A3, ((2 * π) * 6 / n), (0, 0)) → A3'_{13}
  108. Rotate(A4, ((2 * π) * 6 / n), (0, 0)) → A4'_{13}
  109. Rotate(A5, ((2 * π) * 6 / n), (0, 0)) → A5'_{13}
  110. Rotate(A6, ((2 * π) * 6 / n), (0, 0)) → A6'_{13}
  111. Polygon(Rotate[A1, ((2 * π) * 6 / n), (0, 0)], Rotate[A2, ((2 * π) * 6 / n), (0, 0)], Rotate[A3, ((2 * π) * 6 / n), (0, 0)], Rotate[A4, ((2 * π) * 6 / n), (0, 0)], Rotate[A5, ((2 * π) * 6 / n), (0, 0)], Rotate[A6, ((2 * π) * 6 / n), (0, 0)]) → T6, f_2, g_2, h_2, i_2, j_2, k_2
  112. Rotate(A1, ((2 * π) * 7 / n), (0, 0)) → A1'_{14}
  113. Rotate(A2, ((2 * π) * 7 / n), (0, 0)) → A2'_{14}
  114. Rotate(A3, ((2 * π) * 7 / n), (0, 0)) → A3'_{14}
  115. Rotate(A4, ((2 * π) * 7 / n), (0, 0)) → A4'_{14}
  116. Rotate(A5, ((2 * π) * 7 / n), (0, 0)) → A5'_{14}
  117. Rotate(A6, ((2 * π) * 7 / n), (0, 0)) → A6'_{14}
  118. Polygon(Rotate[A1, ((2 * π) * 7 / n), (0, 0)], Rotate[A2, ((2 * π) * 7 / n), (0, 0)], Rotate[A3, ((2 * π) * 7 / n), (0, 0)], Rotate[A4, ((2 * π) * 7 / n), (0, 0)], Rotate[A5, ((2 * π) * 7 / n), (0, 0)], Rotate[A6, ((2 * π) * 7 / n), (0, 0)]) → T7, l_2, m_2, n_2, p_2, q_2, r_2