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曲线绕某点的卷绕数（Winding Number）动态演示

曲线绕某点的卷绕数（Winding Number）动态演示
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2018-07-03 01:21
向量微积分复数参数方程轨迹
所属专题 Mapping Diagrams to Visualize Complex Analysis
该范例通过GeoGebra动态演示一条平面曲线绕给定点的卷绕数（Winding Number），即曲线绕该点旋转的圈数（带方向）。核心数学概念是复分析中的卷绕数，它等于曲线在复平面上的路径积分除以2πi，也可通过观察曲线与从该点出发的射线的交点次数来直观理解。作图要点：利用GeoGebra的Sequence、Zip、CurveCartesian等命令构造参数曲线及其离散采样点，通过Sphere、Intersect等对象实现三维可视化辅助，使用Textfield、inputBox等交互控件调整参数，并借助Vector、Point、Locus等工具展示曲线轨迹与卷绕计数过程。适合大学复变函数、拓扑学或数学实验课程，也可用于高中进阶数学的直观拓展，帮助学生理解曲线绕行方向与圈数的几何意义。

GeoGebra 命令及参数

  1. Sequence(t, t, t_0, t_1, dt) → t_*
  2. Zip(x_C(B) + (y_C(B) * ί), B, t_*) → z_*
  3. Sequence(t, t, t_0 + dt, t_1 + dt, dt) → t_3
  4. Zip(x_C(B) + (y_C(B) * ί), B, t_3) → z_1
  5. Zip(t - u, t, z_1, u, z_*) → dz_*
  6. Sequence((Element[gz_*, k] * Element[dz_*, k]), k, 1, n) → fdz_*
  7. Sequence(Sum[fdz_*, k], k, 1, n) → SUMfdz_*
  8. CurveCartesian(t, 0, ht, t, -5, 5) → Xh
  9. CurveCartesian(0, t, ht, t, -5, 5) → Yh
  10. Sphere((0, 0, 4), 1) → RS
  11. Intersect(zAxis, RS, 2) → A
  12. Zip((x(Z), y(Z), ht), Z, SUMfdz_*) → ESum
  13. Sequence(Element[dz_*, k], k, 1, n) → dz_n
  14. CurveCartesian(x_C(t), y_C(t), t, t_0, t_1) → c
  15. Textfield(x_C) → inputBox4
  16. Textfield(y_C) → inputBox5
  17. Vector(z_#, Pointfz_#) → u
  18. Textfield(F) → InputBox1
  19. Zip(Vector[A, B], A, z_*, B, ESum) → ESumV_*
  20. Zip((x(z), y(z), ht), z, fz_*) → fpoint_*
  21. Zip(Vector[v, w], v, z_*, w, fpoint_*) → fvec_*
  22. Point(c) → B
  23. Locus(FBP, B) → fc
  24. Vector(Pt, FPtP) → v