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圆摆线绕 z 轴旋转的三维建模与变换演示

圆摆线绕 z 轴旋转的三维建模与变换演示
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2021-02-04 10:18
数列变换参数方程几何作图函数图像
所属专题 GeoGebra and Laser Cutting
该范例演示如何将二维圆摆线在坐标平面内生成后，绕 z 轴做旋转，从而获得对应的三维曲面/形体，并可用动画参数观察其形状变化。核心数学概念包括：参数方程与笛卡尔坐标曲线生成（CurveCartesian）、序列/离散采样（Sequence）、几何交与约束构造（Intersect）、以圆与线段为基础的几何元素（Circle、Segment）、以及在三维中定义旋转基准平面与曲面展示（OrthogonalPlane、Surface）。作图要点：使用 Textfield 等输入控件驱动参数，利用 CurveCartesian 构造圆摆线主曲线与相关生成点；通过 Sequence 产生离散参数取样；用 OrthogonalPlane 划定与旋转/投影相关的正交平面；再借助 Intersect 确定曲线上关键交点或构造位置；利用 Circle 与 Segment 搭建辅助几何（如滚动轮、半径与连接段）；最后用 Surface 将旋转后的点集或曲线生成曲面，并通过多个输入量/参数（如 a、k、r、s 与角度 α 系列）控制旋转与采样密度。适合高中到大学基础数学与计算机几何课程，用于函数图像、参数曲线、几何变换与三维建模的教学与演示，亦适合数学建模与可视化学习。

GeoGebra 命令及参数

  1. Textfield(f) → InputBox1
  2. Textfield(g) → InputBox2
  3. Textfield(h) → InputBox3
  4. CurveCartesian(f(t), g(t), h(t), t, m, n) → a
  5. Textfield(m) → InputBox4
  6. Textfield(n) → InputBox5
  7. Textfield(r) → InputBox6
  8. Textfield(s) → InputBox7
  9. Sequence((0, 0, r + (s - r) / ((2 * k)) + ((i * (s - r))) / k), i, 0, k - 1) → l1
  10. OrthogonalPlane(l1(1), zAxis) → α_1
  11. OrthogonalPlane(l1(2), zAxis) → α_2
  12. OrthogonalPlane(l1(3), zAxis) → α_3
  13. OrthogonalPlane(l1(4), zAxis) → α_4
  14. OrthogonalPlane(l1(5), zAxis) → α_5
  15. OrthogonalPlane(l1(6), zAxis) → α_6
  16. OrthogonalPlane(l1(7), zAxis) → α_7
  17. OrthogonalPlane(l1(8), zAxis) → α_8
  18. OrthogonalPlane(l1(9), zAxis) → α_9
  19. OrthogonalPlane(l1(10), zAxis) → α_{10}
  20. Intersect(α_6, a) → I_{6}, I_{18}
  21. Intersect(α_1, a) → I_{1}, I_{17}
  22. OrthogonalPlane(l1(11), zAxis) → α_{11}
  23. OrthogonalPlane(l1(12), zAxis) → α_{12}
  24. OrthogonalPlane(l1(13), zAxis) → α_{13}
  25. OrthogonalPlane(l1(14), zAxis) → α_{14}
  26. OrthogonalPlane(l1(15), zAxis) → α_{15}
  27. Intersect(α_7, a) → I_{7}, I_{19}
  28. Intersect(xAxis, yAxis) → A
  29. Circle(A, Distance[l1(1), I_{1}], zAxis) → c_{1}
  30. Intersect(α_{10}, a) → I_{10}
  31. Intersect(α_{11}, a) → I_{11}
  32. Intersect(α_{12}, a) → I_{12}
  33. Intersect(α_{13}, a) → I_{13}
  34. Intersect(α_{14}, a) → I_{14}
  35. Intersect(α_{15}, a) → I_{15}
  36. Circle(A, Distance[l1(6), I_{6}], zAxis) → c_{6}
  37. Circle(A, Distance[l1(7), I_{7}], zAxis) → c_{7}
  38. Intersect(α_9, a) → I_{9}
  39. Intersect(α_2, a) → I_{2}, I_{16}
  40. Intersect(α_4, a) → I_{4}, I_{20}
  41. Intersect(α_5, a) → I_{5}, R_2
  42. Intersect(α_3, a) → I_{3}, R_1
  43. Intersect(α_8, a) → I_{8}, R_3
  44. Circle(A, Distance[l1(2), I_{2}], zAxis) → c_{2}
  45. Circle(A, Distance[l1(3), I_{3}], zAxis) → c_{3}
  46. Circle(A, Distance[l1(4), I_{4}], zAxis) → c_{4}
  47. Circle(A, Distance[l1(9), I_{9}], zAxis) → c_{9}
  48. Segment(J, I_{5}) → i
  49. Circle(A, i, zAxis) → c_5
  50. Circle(A, Distance[l1(10), I_{10}], zAxis) → c_{10}
  51. Circle(A, Distance[l1(11), I_{11}], zAxis) → c_{11}
  52. Circle(A, Distance[l1(12), I_{12}], zAxis) → c_{12}
  53. Segment(K, I_{8}) → j
  54. Circle(A, Distance[l1(13), I_{13}], zAxis) → c_{13}
  55. Circle(A, Distance[l1(14), I_{14}], zAxis) → c_{14}
  56. Circle(A, j, zAxis) → c_{8}
  57. Surface(a, α, zAxis) → d

AI 绘图提示语参考

绘制一个摆线绕z轴旋转形成的3D曲面。摆线是平面参数曲线，旋转后生成旋转曲面。关键对象包括摆线曲线、旋转轴z轴、辅助圆和线段。辅助圆和线段用于定位旋转点并构建几何约束。构造顺序：先绘制摆线，然后绕z轴旋转，定义相关平面，定位关键点，使用圆和线段进行辅助几何，最后生成旋转曲面。
以上提示语为根据原始绘图命令整理而来，仅供参考。