苹果（Manzana）——旋转与椭圆构造的几何艺术

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2023-03-15 20:44

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① 本范例通过GeoGebra展示了一个名为“苹果”的几何图形，它由旋转的椭圆、线段、圆及交点等元素组合而成，呈现类似苹果的轮廓。② 核心数学概念涉及旋转（Rotación）、椭圆方程、标准偏差（Desviación Estándar）的几何意义、乘法与算术运算，以及参数曲线（CurveCartesian）和序列（Sequence）的运用。③ 作图要点：使用了Segment（线段）、Point（点）、OrthogonalLine（垂线）、Circle（圆）、Intersect（交点）、Ellipse（椭圆）、Angle（角）、CurveCartesian（笛卡尔曲线）、Sequence（序列）等命令，并创建了多个辅助对象如u10、p、v10、Q4、Q3、p2、P3等，通过旋转和椭圆参数化生成苹果形状。④ 适合高中至大学阶段学习解析几何、参数方程、旋转变换及GeoGebra高级作图技巧的学生和教师，也可用于数学艺术创作或演示几何与代数结合的美感。

GeoGebra 命令及参数

Segment(Q3, Q4) → p2
Point(p2) → P3
Segment(P3, Q4) → p4
Point(p4) → P4
Segment(Q1, Q2) → p1
Point(p1) → P1
Segment(P1, Q2) → p3
Point(p3) → P2
OrthogonalLine(C, xAxis) → zz2
Circle(C, 0.62) → zz0
Intersect(zz0, zz2, 1) → ZZ4
Intersect(zz0, zz2, 2) → ZZ3
Ellipse(ZZ3, ZZ4, 0.65) → zElipse2
Point(zElipse2) → Z
Intersect(zElipse2, zz2) → ZZ7, ZZ8
Angle(ZZ8, C, Z) → zAngInc
OrthogonalLine(C, yAxis) → zz1
Intersect(zz0, zz1, 2) → ZZ2
Intersect(zz0, zz1, 1) → ZZ1
Ellipse(ZZ1, ZZ2, 0.65) → zElipse1
Point(zElipse1) → XY
Intersect(zElipse1, zz1) → ZZ5, ZZ6
Angle(ZZ6, C, XY) → zAngRot
Segment(Q5, Q6) → p5
Point(p5) → P5
Segment(ZZ5, ZZ6) → zz4
Segment(ZZ7, ZZ8) → zz3
Intersect(zElipse2, zElipse1, 1) → zPunto1
Intersect(zElipse2, zElipse1, 4) → zPunto2
Segment(zPunto1, zPunto2) → zSeg2
CurveCartesian((r / 6 * (((cos(α) * (4 + (3.8 * cos(v)))) * sin(zAngRot)) + ((sin(α) * (4 + (3.8 * cos(v)))) * cos(zAngRot)))), (r / 6 * (((((-cos(α)) * (4 + (3.8 * cos(v)))) * cos(zAngRot)) * sin(zAngInc)) + (((sin(α) * (4 + (3.8 * cos(v)))) * sin(zAngRot)) * sin(zAngInc)) + (((((cos(v) + sin(v) - 1) * (1 + sin(v))) * ln(1 - (3.14159 * v / 10))) + (7.5 * sin(v))) * cos(zAngInc)))), v, v1, v2) → curva2
CurveCartesian((r / 6 * (((cos(u) * (4 + 3.8)) * sin(zAngRot)) + ((sin(u) * (4 + 3.8)) * cos(zAngRot)))), (r / 6 * (((((-cos(u)) * (4 + 3.8)) * cos(zAngRot)) * sin(zAngInc)) + (((sin(u) * (4 + 3.8)) * sin(zAngRot)) * sin(zAngInc)))), u, u1, u2) → curva1
CurveCartesian((r / 6 * (((cos(u) * (4 + (3.8 * cos(β - 3.14159)))) * sin(zAngRot)) + ((sin(u) * (4 + (3.8 * cos(β - 3.14159)))) * cos(zAngRot)))), (r / 6 * (((((-cos(u)) * (4 + (3.8 * cos(β - 3.14159)))) * cos(zAngRot)) * sin(zAngInc)) + (((sin(u) * (4 + (3.8 * cos(β - 3.14159)))) * sin(zAngRot)) * sin(zAngInc)) + (((((cos(β - 3.14159) + sin(β - 3.14159) - 1) * (1 + sin(β - 3.14159))) * ln(1 - (3.14159 * (β - 3.14159) / 10))) + (7.5 * sin(β - 3.14159))) * cos(zAngInc)))), u, u1, u2) → a1
Sequence(CurveCartesian[(r / 6 * (((cos(u) * (4 + (3.8 * cos(v)))) * sin(zAngRot)) + ((sin(u) * (4 + (3.8 * cos(v)))) * cos(zAngRot)))), (r / 6 * (((((-cos(u)) * (4 + (3.8 * cos(v)))) * cos(zAngRot)) * sin(zAngInc)) + (((sin(u) * (4 + (3.8 * cos(v)))) * sin(zAngRot)) * sin(zAngInc)) + (((((cos(v) + sin(v) - 1) * (1 + sin(v))) * ln(1 - (3.14159 * v / 10))) + (7.5 * sin(v))) * cos(zAngInc)))), v, v1, v2], u, u1, u2, paso) → list2
Sequence(CurveCartesian[(r / 6 * (((cos(u) * (4 + (3.8 * cos(v)))) * sin(zAngRot)) + ((sin(u) * (4 + (3.8 * cos(v)))) * cos(zAngRot)))), (r / 6 * (((((-cos(u)) * (4 + (3.8 * cos(v)))) * cos(zAngRot)) * sin(zAngInc)) + (((sin(u) * (4 + (3.8 * cos(v)))) * sin(zAngRot)) * sin(zAngInc)) + (((((cos(v) + sin(v) - 1) * (1 + sin(v))) * ln(1 - (3.14159 * v / 10))) + (7.5 * sin(v))) * cos(zAngInc)))), u, u1, u2], v, v1, v2, paso) → list1

AI 绘图提示语参考

在平面坐标系中先给定两条正交坐标轴，并取一个圆心为原点的圆，再构造其与两条垂直方向的交点。以这些交点为焦点参数化画出两条相交的椭圆，得到两条椭圆曲线及其交点；用圆与椭圆的切向方向关系形成旋转角与倾角。随后把每条椭圆曲线对应的几何角度用于参数曲线，生成一族围绕旋转角与倾角变化的曲线轨迹，并通过序列在参数区间内取多个位置点。把同一组轨迹上的点连成若干短线段，再将不同椭圆产生的轨迹片段合并，形成类似苹果轮廓的几何艺术图（由旋转与椭圆构成，含多处交点与段线）。

以上提示语为根据原始绘图命令整理而来，仅供参考。