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分段函数与参数曲线的镜像旋转构图演示

分段函数与参数曲线的镜像旋转构图演示
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2021-04-17 03:46
函数变换参数方程几何作图
所属专题 GeoGebra and Laser Cutting
这个范例演示如何用分段函数/参数几何思想绘制并组合曲线，展示通过镜像与旋转实现的对称形态叠加效果。核心数学概念包括分段函数（piecewise functions）、抛物线与几何分割关系、参数方程/参数曲线、以及利用镜像（Mirror）与变换（Translate/Rotation 类构造）来生成对称构件。作图要点：从构造摘要可提炼使用了 Point、Segment、OrthogonalLine、Intersect、Midpoint、Mirror、Circle、Vector、Translate 等 GeoGebra 命令；对象包含多组关键点与中间量（如 A, B, C, D, E, F, H, I, J, K, L, M, N 等）、多条辅助线与交点（如 g, f, g_1, g_3, h, i, j, k 等），以及由平移向量与镜像得到的对应对象（如 F', E', l', a_t 等）来驱动分段与对称拼接。适合中学高年级到大学基础几何与解析几何课程使用，也适合作为“对称变换+参数/分段建模”的教学与建模练习。

GeoGebra 命令及参数

  1. Point(g_3) → A
  2. Point(g_3) → B
  3. Point(xAxis) → C
  4. Point(xAxis) → D
  5. Segment(A, C) → h
  6. Segment(C, D) → i
  7. Segment(D, B) → j
  8. OrthogonalLine(E, i) → k
  9. Intersect(g_3, k, (-9.7, 4.000081982889263)) → G
  10. Midpoint(G, E) → F
  11. Segment(F, E) → l
  12. Mirror(F, yAxis) → F'
  13. Mirror(E, yAxis) → E'
  14. Segment(F', E') → l'
  15. Circle(H, 4.5) → c
  16. Intersect(c, xAxis, 1) → J
  17. OrthogonalLine(J, xAxis) → m
  18. OrthogonalLine(I, m) → n
  19. Intersect(m, n) → K
  20. Segment(I, H) → p
  21. Segment(H, J) → q
  22. Segment(K, J) → r
  23. Segment(K, I) → s
  24. Midpoint(I, H) → M
  25. Segment(L, N) → g_1
  26. Segment(N, M) → h_1
  27. Segment(K, L) → k_1
  28. Segment(K, J) → t
  29. Segment(J, H) → a
  30. Circle(H, 0.3) → d
  31. Segment(M, H) → b
  32. Intersect(d, b, 1) → O
  33. OrthogonalLine(O, b) → e
  34. Intersect(e, t) → P
  35. Midpoint(P, O) → Q
  36. Segment(Q, O) → f_1
  37. Circle(J, 0.3) → c_1
  38. Intersect(c_1, a, 1) → S
  39. Intersect(a, xAxis) → T
  40. OrthogonalLine(S, a) → i_1
  41. Circle(S, l) → d_1
  42. Intersect(d_1, i_1, 2) → R
  43. Segment(S, R) → j_1
  44. OrthogonalLine(Ponto(EixoY), yAxis) → l_1
  45. Mirror(L, l_1) → L'
  46. Mirror(N, l_1) → N'
  47. Segment(L', N') → m_1
  48. Mirror(N, l_1) → N'_1
  49. Mirror(M, l_1) → M'
  50. Segment(N'_1, M') → n_1
  51. Mirror(K, l_1) → K'
  52. Mirror(L, l_1) → L'_1
  53. Segment(K', L'_1) → p_1
  54. Mirror(K, l_1) → K'_1
  55. Mirror(J, l_1) → J'
  56. Segment(K'_1, J') → t'
  57. Mirror(J, l_1) → J'_1
  58. Mirror(H, l_1) → H'
  59. Segment(J'_1, H') → a'
  60. Mirror(M, l_1) → M'_1
  61. Mirror(H, l_1) → H'_1
  62. Segment(M'_1, H'_1) → b'
  63. Mirror(Q, l_1) → Q'
  64. Mirror(O, l_1) → O'
  65. Segment(Q', O') → q_1
  66. Mirror(S, l_1) → S'
  67. Mirror(R, l_1) → R'
  68. Segment(S', R') → r_1
  69. Mirror(A, l_1) → A'
  70. Mirror(C, l_1) → C'
  71. Segment(A', C') → h'
  72. Mirror(C, l_1) → C'_1
  73. Mirror(D, l_1) → D'
  74. Segment(C'_1, D') → i'
  75. Mirror(D, l_1) → D'_1
  76. Mirror(B, l_1) → B'
  77. Segment(D'_1, B') → j'
  78. Mirror(F, l_1) → F'_1
  79. Mirror(E, l_1) → E'_1
  80. Segment(F'_1, E'_1) → l'_1
  81. Mirror(F', l_1) → F''
  82. Mirror(E', l_1) → E''
  83. Segment(F'', E'') → l''
  84. Intersect(s_1, h, (-10, 0.6967855704262355)) → U
  85. Intersect(h', i') → V
  86. Vector(U, V) → u
  87. Translate(s_1, u) → t_1
  88. Segment(A', B') → a_1
  89. Circle(B', 0.4) → e_1
  90. Intersect(e_1, j', 1) → W
  91. OrthogonalLine(W, j') → b_1
  92. Intersect(b_1, h') → Z
  93. Segment(Z, W) → g_2
  94. Segment(C', Z) → h_2
  95. Segment(D'_1, W) → i_2
  96. Segment(A_1, B_1) → j_2
  97. Circle(A_1, 4.22) → c_2
  98. OrthogonalLine(A_1, j_2) → k_2
  99. Intersect(c_2, k_2, 1) → C_1
  100. OrthogonalLine(C_1, k_2) → l_2
  101. OrthogonalLine(B_1, j_2) → m_2
  102. Intersect(l_2, m_2) → D_1
  103. Segment(A_1, C_1) → n_2
  104. Segment(B_1, D_1) → p_2
  105. Segment(C_1, D_1) → q_2
  106. Circle(A_1, 0.3) → d_2
  107. Intersect(d_2, j_2, 1) → E_1
  108. Circle(E_1, q_1 - 0.28) → e_2
  109. Intersect(e_2, k, 1) → F_1
  110. Segment(E_1, F_1) → r_2
  111. Mirror(E_1, yAxis) → G_1
  112. Mirror(F_1, yAxis) → H_1
  113. Segment(G_1, H_1) → s_2
  114. Intersect(g_3, yAxis, (0, 5)) → I_1
  115. Circle(I_1, 0.5) → t_2
  116. Intersect(t_2, yAxis) → J_1, K_1
  117. Circle(J_1, 0.15) → c_3

AI 绘图提示语参考

在直角坐标系中，先取一条水平轴作为基准。画出两处由参数函数生成的三点并连成折线段，再从折线的一点作与相应段垂直的辅助线，求与该参数曲线的交点并取其中点，得到用于后续镜像的关键线段。以得到的线段为对象沿纵向轴线作镜面对称，连接对称后的端点形成匹配段，并在某个中心点处作半径为4.5的圆与水平轴相交得到一侧基准点，再作垂线得到交点。最后围绕同一组关键点继续画若干小圆与直线的交点、连线与中点段，并把另一组线段再分别关于纵向轴镜像，形成对称的分段曲线组合效果。
以上提示语为根据原始绘图命令整理而来，仅供参考。