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非线性系统相平面：零解线与斜率场联动可视化

非线性系统相平面：零解线与斜率场联动可视化
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2021-01-01 05:30
函数微积分导数轨迹函数图像
本范例演示非线性微分方程组在相平面上的动态行为：通过零解线（nullclines）与斜率场共同刻画系统的方向场、轨线走向及平衡结构。核心数学概念包括：相平面分析、非线性常微分方程组、零解线（使某一分量导数为零）、隐函数曲线的绘制，以及斜率场对局部趋势的可视化；同时结合求解ODE的数值轨线与数值积分结果，展示参数变化下系统演化。作图要点：使用 Textfield/输入框对象（如 InputBox1–InputBox8、xmin/xmax/ymin/ymax、tmax）设置参数与显示文字；利用 SolveODE 计算轨线与解（如 asol、bsol、csol、dsol）；用 SlopeField 生成斜率场；用 ImplicitCurve 绘制由 nullclines 对应的不显式曲线；并通过 Sequence、animation、按钮（button1、button2）与对象（L、A、B、C、D、delta、numericalIntegral1/3/5/7 等）实现迭代、动画与数值量展示，最后用 Corner 作为布局辅助。适合高中进阶/大学初阶的微分方程与动力系统课程，用于教学演示、建模与直观理解相平面定性分析方法。

GeoGebra 命令及参数

  1. Textfield(f) → InputBox1
  2. Textfield(xmin) → InputBox2
  3. Textfield(xmax) → InputBox3
  4. Textfield(ymin) → InputBox4
  5. Textfield(ymax) → InputBox5
  6. Textfield(delta) → InputBox6
  7. Textfield(g) → InputBox7
  8. SolveODE(g(x, y) / f(x, y), x(A), y(A), tmax, delta) → numericalIntegral1
  9. Textfield(tmax) → InputBox8
  10. SolveODE(g(x, y) / f(x, y), x(B), y(B), tmax, delta) → numericalIntegral3
  11. SolveODE(g(x, y) / f(x, y), x(C), y(C), tmax, delta) → numericalIntegral5
  12. SolveODE(g(x, y) / f(x, y), x(D), y(D), tmax, delta) → numericalIntegral7
  13. Sequence(xmin + (i * (xmax - xmin) / n), i, 1, n, 1) → l3
  14. Sequence(ymin + (i * (ymax - ymin) / n), i, 1, n, 1) → l1
  15. Sequence(Sequence[(l3(i), l1(j)), j, 1, Length[l1]], i, 1, Length[l3]) → l5
  16. Sequence(Sequence[Vector[l5(i, j), l5(i, j) + (f(l5(i, j)), g(l5(i, j)))], j, 1, Length[l1]], i, 1, Length[l3]) → l6
  17. SlopeField(g(x, y) / f(x, y), n + 1, L, xmin, ymin, xmax, ymax) → slopefield1
  18. ImplicitCurve(f(x, y)) → fnullcline
  19. ImplicitCurve(g(x, y)) → gnullcline
  20. Corner(2, 1) → E
  21. Textfield(A) → InputBox9
  22. Textfield(B) → InputBox10
  23. Textfield(C) → InputBox11
  24. Textfield(D) → InputBox12

AI 绘图提示语参考

在坐标平面给定参数范围与步长，绘制由非线性二维一阶系统导出斜率场的相图：在指定xmin,xmax,ymin,ymax内生成斜率场，表示dx/dt与dy/dt按比值g(x,y)/f(x,y)在各点的局部方向。再在同一平面叠加两条隐式曲线：f(x,y)=0对应的f零导线，以及g(x,y)=0对应的g零导线。最后可在界面预留初始点选项，用数值求解从四组不同初始点出发的轨迹曲线，并与斜率场和零导线共同展示相位平面演化。
以上提示语为根据原始绘图命令整理而来，仅供参考。