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相平面：线性系统与特征向量的几何解读

相平面：线性系统与特征向量的几何解读
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2021-01-01 04:56
解析几何微积分导数矩阵函数图像
该范例在相平面中演示二维线性系统随初始条件变化的流场形态，并用特征向量刻画轨线的主方向与收敛/发散行为。核心数学概念包括：线性微分方程组、系统矩阵的特征值与特征向量、相图（phase plane）、斜率场与隐式曲线表示的积分轨线，以及求解参数化/初值问题得到特定解。作图主要通过 GeoGebra 的 Corner、Textfield、InputBox 组织界面参数，并利用 SolveODE 自动求解常微分方程；同时用 SlopeField 生成方向场，用 ImplicitCurve 画出由条件约束得到的隐式曲线轨线；通过 If 控制不同分支的绘制逻辑，并用 Line/文本对象呈现坐标范围、特征方向线、标签等。对象层面包含矩阵 Amat、特征向量/特征方向计算结果 evec、特征相关的 E、F、B、C、D 以及用于数值积分的 numericalIntegral1/3/5/7 等参数。适合高中到本科微分方程与线性代数结合的教学演示，适用于课堂讲解相图、特征值判别与计算机辅助可视化学习，也适合研究者用来直观验证特征向量对动力学方向的影响。

GeoGebra 命令及参数

  1. Corner(2, 1) → E
  2. Corner(2, 3) → F
  3. Textfield(delta) → InputBox6
  4. SolveODE(g(x, y) / f(x, y), x(A), y(A), tmax, delta) → numericalIntegral1
  5. Textfield(tmax) → InputBox8
  6. SolveODE(g(x, y) / f(x, y), x(B), y(B), tmax, delta) → numericalIntegral3
  7. SolveODE(g(x, y) / f(x, y), x(C), y(C), tmax, delta) → numericalIntegral5
  8. SolveODE(g(x, y) / f(x, y), x(D), y(D), tmax, delta) → numericalIntegral7
  9. SlopeField(g(x, y) / f(x, y), n + 1, L, xmin, ymin, xmax, ymax) → slopefield1
  10. ImplicitCurve(f(x, y)) → fnullcline
  11. ImplicitCurve(g(x, y)) → gnullcline
  12. If(sgn(Element[eval, 1]) > 0, Vector[(0, 0), (Element[evec, 1, 1], Element[evec, 2, 1])], Vector[(Element[evec, 1, 1], Element[evec, 2, 1]), (0, 0)]) → u
  13. If(sgn(Element[eval, 2]) > 0, Vector[(0, 0), (Element[evec, 1, 2], Element[evec, 2, 2])], Vector[(Element[evec, 1, 2], Element[evec, 2, 2]), (0, 0)]) → v
  14. Line((0, 0), (Element[evec, 1, 1], Element[evec, 2, 1])) → h
  15. Line((0, 0), (Element[evec, 1, 2], Element[evec, 2, 2])) → i
  16. Textfield(amin) → InputBox2
  17. Textfield(amax) → InputBox3
  18. Textfield(a11) → InputBox_a11
  19. Textfield(a12) → InputBox_a12
  20. Textfield(a21) → InputBox_a21
  21. Textfield(a22) → InputBox_a22
  22. Textfield(A) → InputBoxA
  23. Textfield(B) → InputBoxB
  24. Textfield(C) → InputBox1
  25. Textfield(D) → InputBoxD

AI 绘图提示语参考

画一个二维线性动力系统的相平面图，展示不同初始条件下的流动模式，并用特征向量标示轨迹的主要方向。图中应包含代表方向场的矢量场、由特征向量确定的轨迹曲线，以及表示系统矩阵特征值正负的箭头。先画出矢量场，再添加特征向量方向和轨迹曲线，最后用箭头标示特征向量方向，使图形清晰展示系统动态行为。
以上提示语为根据原始绘图命令整理而来，仅供参考。