幻影曲线 (x^2-1)^2 的复数根与参数化图像

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2018-07-22 18:52

所属专题 Phantom Graphs

该范例演示了函数 y=(x^2-1)^2 的“幻影曲线”现象，即通过引入复数根和参数化曲线，在实平面中展示原本不可见的虚部轨迹。核心数学概念包括复数根、参数方程、函数图像的伸缩与平移，以及二次函数的性质。作图要点：使用 GeoGebra 的 ComplexRoot 命令计算多项式的复数根，并利用 CurveCartesian 命令构造参数曲线，涉及对象包括 c, g, a, f, z_1 至 z_4, A1 至 A4, text1, d, b, e, h, i, j, k 等，通过滑块或动态参数控制曲线形态。适合高中至大学阶段的数学教学，用于理解复数与函数图像的深层联系，也可用于探究二次函数与圆的变换关系。

GeoGebra 命令及参数

ComplexRoot(f(x) - c) → z_1, z_2, z_3, z_4
CurveCartesian(0, (t^(2) + 1)^(2), t, t, -25, 25) → d
CurveCartesian(t, (-4 * t^(4)) + (4 * t^(2)), sqrt(t^(2) - 1), t, -25, 25) → b
CurveCartesian(t, (-4 * t^(4)) + (4 * t^(2)), (-sqrt(t^(2) - 1)), t, -25, 25) → e