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方向导数的定义：单位向量与切平面可视化

方向导数的定义：单位向量与切平面可视化
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2019-05-07 16:37
向量函数微积分导数滑块动画
该范例通过三维空间中的曲面和单位向量，直观演示了方向导数的几何定义。核心数学概念是方向导数，即函数在某点沿给定单位方向的变化率，它由梯度向量与单位向量的点积给出。作图要点包括：使用GeoGebra的NDerivative命令计算数值导数，通过Vector和UnitVector构造单位方向向量，利用OrthogonalPlane和Plane创建垂直平面与切平面，并用IntersectPath和Line生成交线，最终通过滑块（如theta）动态调整方向，观察切平面与垂直平面的交线斜率变化。适合大学微积分或多元函数课程的教学演示，帮助学生理解方向导数与偏导数、梯度的关系，以及单位向量在定义中的关键作用。

GeoGebra 命令及参数

  1. NDerivative(f, y) → dy
  2. NDerivative(f, x) → dx
  3. Vector(P, Px) → vx
  4. Vector(P, Py) → vy
  5. Vector(O, (x0 + 1, y0, 0)) → i
  6. Vector(O, (x0, y0 + 1, 0)) → j
  7. Vector(O, O1) → u
  8. OrthogonalPlane(P, Vector[vx ⊗ vy]) → tangentPlane
  9. Plane(O, O1, P) → verticalPlane
  10. UnitVector(Vector[P, Pu]) → v
  11. IntersectPath(verticalPlane, f) → eq1
  12. Line(P, PplusH) → g

AI 绘图提示语参考

绘制一个三维曲面上的方向导数几何定义图。使用单位向量表示指定方向，通过滑动角度 θ 来旋转方向向量，动态展示切平面和交线斜率的变化。包括数值微分、单位向量、垂直平面、切平面和交线等关键元素。
以上提示语为根据原始绘图命令整理而来，仅供参考。