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谢尔宾斯基三角形分形构造与迭代演示

谢尔宾斯基三角形分形构造与迭代演示
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2021-02-18 13:08
测试改名0多边形数列变换几何作图
所属专题 GeoGebra and Laser Cutting
该范例通过反复迭代在一个等边三角形中移除中间三角区域，展示谢尔宾斯基三角形随次数增加而形成的分形结构与自相似现象。核心数学概念包括分形（self-similarity，自相似）、递归/迭代构造、集合的逐步逼近，以及几何对象在迭代过程中的组合与缩放思想。作图要点：从构造摘要可提炼出使用 Polygon 创建三角形与多边形区域（如 A、B、C 等关键点及 poly1），用 Join 连接边界形成完整轮廓；通过 Sequence 生成迭代序列与各层子三角形的顶点或对象集合，并据此组织 list1—list16 等对象列表来批量管理不同迭代层的图形；同时用参数 n（迭代次数）控制分形深度。适合中学进阶到大学层次的几何与数学建模课堂，用于讲解递归思想、分形概念以及几何作图与参数化可视化。

GeoGebra 命令及参数

  1. Polygon(A, B, 3) → poly1, a, b, c, C
  2. Join(Sequence[Sequence[{Element[Element[list1, i], j], Midpoint[Element[Element[list1, i], j], Element[Element[list1, i], Mod[j, 3] + 1]], Midpoint[Element[Element[list1, i], j], Element[Element[list1, i], Mod[j + 1, 3] + 1]]}, j, 1, 3], i, 1, CountIf[x ≠ 3, list1]]) → list2
  3. Join(Sequence[Sequence[{Element[Element[list2, i], j], Midpoint[Element[Element[list2, i], j], Element[Element[list2, i], Mod[j, 3] + 1]], Midpoint[Element[Element[list2, i], j], Element[Element[list2, i], Mod[j + 1, 3] + 1]]}, j, 1, 3], i, 1, CountIf[x ≠ 3, list2]]) → list3
  4. Join(Sequence[Sequence[{Element[Element[list3, i], j], Midpoint[Element[Element[list3, i], j], Element[Element[list3, i], Mod[j, 3] + 1]], Midpoint[Element[Element[list3, i], j], Element[Element[list3, i], Mod[j + 1, 3] + 1]]}, j, 1, 3], i, 1, CountIf[x ≠ 3, list3]]) → list4
  5. Join(Sequence[Sequence[{Element[Element[list4, i], j], Midpoint[Element[Element[list4, i], j], Element[Element[list4, i], Mod[j, 3] + 1]], Midpoint[Element[Element[list4, i], j], Element[Element[list4, i], Mod[j + 1, 3] + 1]]}, j, 1, 3], i, 1, CountIf[x ≠ 3, list4]]) → list5
  6. Join(Sequence[Sequence[{Element[Element[list5, i], j], Midpoint[Element[Element[list5, i], j], Element[Element[list5, i], Mod[j, 3] + 1]], Midpoint[Element[Element[list5, i], j], Element[Element[list5, i], Mod[j + 1, 3] + 1]]}, j, 1, 3], i, 1, CountIf[x ≠ 3, list5]]) → list6
  7. Join(Sequence[Sequence[{Element[Element[list6, i], j], Midpoint[Element[Element[list6, i], j], Element[Element[list6, i], Mod[j, 3] + 1]], Midpoint[Element[Element[list6, i], j], Element[Element[list6, i], Mod[j + 1, 3] + 1]]}, j, 1, 3], i, 1, CountIf[x ≠ 3, list6]]) → list7
  8. Join(Sequence[Sequence[{Element[Element[list7, i], j], Midpoint[Element[Element[list7, i], j], Element[Element[list7, i], Mod[j, 3] + 1]], Midpoint[Element[Element[list7, i], j], Element[Element[list7, i], Mod[j + 1, 3] + 1]]}, j, 1, 3], i, 1, CountIf[x ≠ 3, list7]]) → list8
  9. Sequence(Polygon[Element[list1, i]], i, 1, CountIf[x ≠ 3, list1]) → list9
  10. Sequence(Polygon[Element[list2, i]], i, 1, CountIf[x ≠ 3, list2]) → list10
  11. Sequence(Polygon[Element[list3, i]], i, 1, CountIf[x ≠ 3, list3]) → list11
  12. Sequence(Polygon[Element[list4, i]], i, 1, CountIf[x ≠ 3, list4]) → list12
  13. Sequence(Polygon[Element[list5, i]], i, 1, CountIf[x ≠ 3, list5]) → list13
  14. Sequence(Polygon[Element[list6, i]], i, 1, CountIf[x ≠ 3, list6]) → list14
  15. Sequence(Polygon[Element[list7, i]], i, 1, CountIf[x ≠ 3, list7]) → list15
  16. Sequence(Polygon[Element[list8, i]], i, 1, CountIf[x ≠ 3, list8]) → list16

AI 绘图提示语参考

从一个等边三角形开始，通过不断连接每条边的中点，将每个三角形细分为四个更小的三角形，并移除中间的那个，从而生成谢尔宾斯基三角形分形。重复这一过程多次，每次迭代都会在剩余的三角形中再次应用相同的细分规则，形成越来越精细的自相似图案。最终图形由多个嵌套的三角形层组成，每个层代表一次迭代，整体呈现分形几何的递归结构。
以上提示语为根据原始绘图命令整理而来，仅供参考。