积极 AI Logo 积极 AI

AP 微积分 2014AB_2b 正方形截面旋转体体积演示

AP 微积分 2014AB_2b 正方形截面旋转体体积演示
几何画板及绘图内容加载中，请稍等……
2016-06-27 00:26
多边形立体几何微积分积分
所属专题 Volumes in AP Calculus Volumes in AP Calculus
本范例演示 AP 微积分 2014AB_2b 题目中由正方形截面构成的旋转体体积计算过程。涉及定积分求体积、截面面积函数及旋转体几何性质。作图要点包括利用 GeoGebra 的 Polygon, Segment, Locus, Integral, Surface, Sequence 等命令构建动态模型，并通过 ToggleDirectionVolumeIntegral 控制积分方向以展示切片变化。适合高中 AP 微积分学生或大学微积分初学者，用于直观理解切片法求体积，强化对积分几何意义的掌握。

GeoGebra 命令及参数

  1. Polygon(B, A, C, D) → Squares, a, c, d, b
  2. Segment(A, B) → e
  3. Locus(C, s) → loc1
  4. Integral((g(x) - f(x))^(2), 0, 2.3) → Integ
  5. If(togDF ≟ 1, "Show Instructions", "Show volume integral") → ToggleDirectionVolumeIntegral
  6. If(togS ≟ 1, "Hide surface", "Show surface") → ShowSurface
  7. Locus(D, s) → loc2
  8. Intersect(f, g) → E, F
  9. Surface(u, g(u), (v * (g(u) - f(u))), v, 0, 1, u, 0, lx) → SurfaceBack
  10. Surface(u, (v * f(u)) + ((1 - v) * g(u)), 0, u, 0, lx, v, 0, 1) → Base
  11. Surface(u, f(u), (v * (g(u) - f(u))), v, 0, 1, u, 0, lx) → SurfaceFront
  12. Surface(u, (v * f(u)) + ((1 - v) * g(u)), g(u) - f(u), u, 0, lx, v, 0, 1) → Top
  13. Sequence(Polygon[((k * h), f(((k + p) * h))), ((k * h), g(((k + p) * h))), (((k + 1) * h), g(((k + p) * h))), (((k + 1) * h), f(((k + p) * h)))], k, 0, m - 1) → SlicesBase, {0.0011581253598704766, 0.0275906335733882, 0.11070315939939723, 0.2570357048701082, 0.446968263888889, 0.6347208222302663, 0.7483533575399238, 0.6897658393347057, 0.33469822900260926}
  14. Sequence(Polygon[((k * h), f(((k + p) * h)), 0), ((k * h), g(((k + p) * h)), 0), ((k * h), g(((k + p) * h)), g(((k + p) * h)) - f(((k + p) * h))), ((k * h), f(((k + p) * h)), g(((k + p) * h)) - f(((k + p) * h)))], k, 0, m - 1) → SlicesLeft, {0.000020537164892854894, 0.011656084676646285, 0.18765034963736738, 1.0116173232181336, 3.0590228625390603, 6.1687168801485575, 8.575170617588558, 7.28505292290396, 1.7152845490162731}
  15. Sequence(Polygon[(((k + 1) * h), f(((k + p) * h)), 0), (((k + 1) * h), g(((k + p) * h)), 0), (((k + 1) * h), g(((k + p) * h)), g(((k + p) * h)) - f(((k + p) * h))), (((k + 1) * h), f(((k + p) * h)), g(((k + p) * h)) - f(((k + p) * h)))], k, 0, m - 1) → SlicesRight, {0.000020537164892854894, 0.011656084676646285, 0.18765034963736738, 1.0116173232181336, 3.0590228625390603, 6.1687168801485575, 8.575170617588558, 7.28505292290396, 1.7152845490162731}
  16. Sequence(Surface[u, f(((k + p) * h)), (v * (g(((k + p) * h)) - f(((k + p) * h)))), u, (k * h), ((k + 1) * h), v, 0, 1], k, 0, m - 1) → SlicesFront, {(u, f(((0.5) * 0.25555555555555554)), (v * (g(((0.5) * 0.25555555555555554)) - (f(((0.5) * 0.25555555555555554)))))), (u, f(((1 + 0.5) * 0.25555555555555554)), (v * (g(((1 + 0.5) * 0.25555555555555554)) - (f(((1 + 0.5) * 0.25555555555555554)))))), (u, f(((2 + 0.5) * 0.25555555555555554)), (v * (g(((2 + 0.5) * 0.25555555555555554)) - (f(((2 + 0.5) * 0.25555555555555554)))))), (u, f(((3 + 0.5) * 0.25555555555555554)), (v * (g(((3 + 0.5) * 0.25555555555555554)) - (f(((3 + 0.5) * 0.25555555555555554)))))), (u, f(((4 + 0.5) * 0.25555555555555554)), (v * (g(((4 + 0.5) * 0.25555555555555554)) - (f(((4 + 0.5) * 0.25555555555555554)))))), (u, f(((5 + 0.5) * 0.25555555555555554)), (v * (g(((5 + 0.5) * 0.25555555555555554)) - (f(((5 + 0.5) * 0.25555555555555554)))))), (u, f(((6 + 0.5) * 0.25555555555555554)), (v * (g(((6 + 0.5) * 0.25555555555555554)) - (f(((6 + 0.5) * 0.25555555555555554)))))), (u, f(((7 + 0.5) * 0.25555555555555554)), (v * (g(((7 + 0.5) * 0.25555555555555554)) - (f(((7 + 0.5) * 0.25555555555555554)))))), (u, f(((8 + 0.5) * 0.25555555555555554)), (v * (g(((8 + 0.5) * 0.25555555555555554)) - (f(((8 + 0.5) * 0.25555555555555554))))))}
  17. Sequence(Surface[u, g(((k + p) * h)), (v * (g(((k + p) * h)) - f(((k + p) * h)))), u, (k * h), ((k + 1) * h), v, 0, 1], k, 0, m - 1) → SlicesBack, {(u, g(((0.5) * 0.25555555555555554)), (v * (g(((0.5) * 0.25555555555555554)) - (f(((0.5) * 0.25555555555555554)))))), (u, g(((1 + 0.5) * 0.25555555555555554)), (v * (g(((1 + 0.5) * 0.25555555555555554)) - (f(((1 + 0.5) * 0.25555555555555554)))))), (u, g(((2 + 0.5) * 0.25555555555555554)), (v * (g(((2 + 0.5) * 0.25555555555555554)) - (f(((2 + 0.5) * 0.25555555555555554)))))), (u, g(((3 + 0.5) * 0.25555555555555554)), (v * (g(((3 + 0.5) * 0.25555555555555554)) - (f(((3 + 0.5) * 0.25555555555555554)))))), (u, g(((4 + 0.5) * 0.25555555555555554)), (v * (g(((4 + 0.5) * 0.25555555555555554)) - (f(((4 + 0.5) * 0.25555555555555554)))))), (u, g(((5 + 0.5) * 0.25555555555555554)), (v * (g(((5 + 0.5) * 0.25555555555555554)) - (f(((5 + 0.5) * 0.25555555555555554)))))), (u, g(((6 + 0.5) * 0.25555555555555554)), (v * (g(((6 + 0.5) * 0.25555555555555554)) - (f(((6 + 0.5) * 0.25555555555555554)))))), (u, g(((7 + 0.5) * 0.25555555555555554)), (v * (g(((7 + 0.5) * 0.25555555555555554)) - (f(((7 + 0.5) * 0.25555555555555554)))))), (u, g(((8 + 0.5) * 0.25555555555555554)), (v * (g(((8 + 0.5) * 0.25555555555555554)) - (f(((8 + 0.5) * 0.25555555555555554))))))}
  18. Sequence(Surface[u, (v * g(((k + p) * h))) + ((1 - v) * f(((k + p) * h))), g(((k + p) * h)) - f(((k + p) * h)), u, (k * h), ((k + 1) * h), v, 0, 1], k, 0, m - 1) → SlicesTop, {(u, (v * g(((0.5) * 0.25555555555555554))) + ((1 - v) * (f(((0.5) * 0.25555555555555554)))), g(((0.5) * 0.25555555555555554)) - (f(((0.5) * 0.25555555555555554)))), (u, (v * g(((1 + 0.5) * 0.25555555555555554))) + ((1 - v) * (f(((1 + 0.5) * 0.25555555555555554)))), g(((1 + 0.5) * 0.25555555555555554)) - (f(((1 + 0.5) * 0.25555555555555554)))), (u, (v * g(((2 + 0.5) * 0.25555555555555554))) + ((1 - v) * (f(((2 + 0.5) * 0.25555555555555554)))), g(((2 + 0.5) * 0.25555555555555554)) - (f(((2 + 0.5) * 0.25555555555555554)))), (u, (v * g(((3 + 0.5) * 0.25555555555555554))) + ((1 - v) * (f(((3 + 0.5) * 0.25555555555555554)))), g(((3 + 0.5) * 0.25555555555555554)) - (f(((3 + 0.5) * 0.25555555555555554)))), (u, (v * g(((4 + 0.5) * 0.25555555555555554))) + ((1 - v) * (f(((4 + 0.5) * 0.25555555555555554)))), g(((4 + 0.5) * 0.25555555555555554)) - (f(((4 + 0.5) * 0.25555555555555554)))), (u, (v * g(((5 + 0.5) * 0.25555555555555554))) + ((1 - v) * (f(((5 + 0.5) * 0.25555555555555554)))), g(((5 + 0.5) * 0.25555555555555554)) - (f(((5 + 0.5) * 0.25555555555555554)))), (u, (v * g(((6 + 0.5) * 0.25555555555555554))) + ((1 - v) * (f(((6 + 0.5) * 0.25555555555555554)))), g(((6 + 0.5) * 0.25555555555555554)) - (f(((6 + 0.5) * 0.25555555555555554)))), (u, (v * g(((7 + 0.5) * 0.25555555555555554))) + ((1 - v) * (f(((7 + 0.5) * 0.25555555555555554)))), g(((7 + 0.5) * 0.25555555555555554)) - (f(((7 + 0.5) * 0.25555555555555554)))), (u, (v * g(((8 + 0.5) * 0.25555555555555554))) + ((1 - v) * (f(((8 + 0.5) * 0.25555555555555554)))), g(((8 + 0.5) * 0.25555555555555554)) - (f(((8 + 0.5) * 0.25555555555555554))))}
  19. Sequence(If[Defined[Area[Element[SlicesLeft, k]]], Area[Element[SlicesLeft, k]], 0], k, 1, m) → Areas, {0.000020537164892854894, 0.011656084676646285, 0.18765034963736738, 1.0116173232181336, 3.0590228625390603, 6.1687168801485575, 8.575170617588558, 7.28505292290396, 1.7152845490162731}