MathPlotAI Logo MathPlotAI

AP Calculus 2014AB_2b Square Cross-Section Volume

AP Calculus 2014AB_2b Square Cross-Section Volume
Loading the math board and drawing, please wait…
2016-06-27 00:26
PolygonSolid GeometryCalculusIntegral
In collections Volumes in AP Calculus Volumes in AP Calculus
This example demonstrates the volume calculation of a solid with square cross-sections from AP Calculus 2014AB_2b. Core concepts include definite integrals for volume, cross-sectional area functions, and solid geometry properties. Construction utilizes GeoGebra commands like Polygon, Segment, Locus, Integral, Surface, and Sequence to build a dynamic model, with ToggleDirectionVolumeIntegral controlling integration direction. Suitable for high school AP Calculus students or college calculus beginners to visualize the slicing method for volume and reinforce the geometric meaning of integrals.

GeoGebra Commands & Parameters

  1. Polygon(B, A, C, D) → Squares, a, c, d, b
  2. Segment(A, B) → e
  3. Locus(C, s) → loc1
  4. Integral((g(x) - f(x))^(2), 0, 2.3) → Integ
  5. If(togDF ≟ 1, "Show Instructions", "Show volume integral") → ToggleDirectionVolumeIntegral
  6. If(togS ≟ 1, "Hide surface", "Show surface") → ShowSurface
  7. Locus(D, s) → loc2
  8. Intersect(f, g) → E, F
  9. Surface(u, g(u), (v * (g(u) - f(u))), v, 0, 1, u, 0, lx) → SurfaceBack
  10. Surface(u, (v * f(u)) + ((1 - v) * g(u)), 0, u, 0, lx, v, 0, 1) → Base
  11. Surface(u, f(u), (v * (g(u) - f(u))), v, 0, 1, u, 0, lx) → SurfaceFront
  12. Surface(u, (v * f(u)) + ((1 - v) * g(u)), g(u) - f(u), u, 0, lx, v, 0, 1) → Top
  13. Sequence(Polygon[((k * h), f(((k + p) * h))), ((k * h), g(((k + p) * h))), (((k + 1) * h), g(((k + p) * h))), (((k + 1) * h), f(((k + p) * h)))], k, 0, m - 1) → SlicesBase, {0.0011581253598704766, 0.0275906335733882, 0.11070315939939723, 0.2570357048701082, 0.446968263888889, 0.6347208222302663, 0.7483533575399238, 0.6897658393347057, 0.33469822900260926}
  14. Sequence(Polygon[((k * h), f(((k + p) * h)), 0), ((k * h), g(((k + p) * h)), 0), ((k * h), g(((k + p) * h)), g(((k + p) * h)) - f(((k + p) * h))), ((k * h), f(((k + p) * h)), g(((k + p) * h)) - f(((k + p) * h)))], k, 0, m - 1) → SlicesLeft, {0.000020537164892854894, 0.011656084676646285, 0.18765034963736738, 1.0116173232181336, 3.0590228625390603, 6.1687168801485575, 8.575170617588558, 7.28505292290396, 1.7152845490162731}
  15. Sequence(Polygon[(((k + 1) * h), f(((k + p) * h)), 0), (((k + 1) * h), g(((k + p) * h)), 0), (((k + 1) * h), g(((k + p) * h)), g(((k + p) * h)) - f(((k + p) * h))), (((k + 1) * h), f(((k + p) * h)), g(((k + p) * h)) - f(((k + p) * h)))], k, 0, m - 1) → SlicesRight, {0.000020537164892854894, 0.011656084676646285, 0.18765034963736738, 1.0116173232181336, 3.0590228625390603, 6.1687168801485575, 8.575170617588558, 7.28505292290396, 1.7152845490162731}
  16. Sequence(Surface[u, f(((k + p) * h)), (v * (g(((k + p) * h)) - f(((k + p) * h)))), u, (k * h), ((k + 1) * h), v, 0, 1], k, 0, m - 1) → SlicesFront, {(u, f(((0.5) * 0.25555555555555554)), (v * (g(((0.5) * 0.25555555555555554)) - (f(((0.5) * 0.25555555555555554)))))), (u, f(((1 + 0.5) * 0.25555555555555554)), (v * (g(((1 + 0.5) * 0.25555555555555554)) - (f(((1 + 0.5) * 0.25555555555555554)))))), (u, f(((2 + 0.5) * 0.25555555555555554)), (v * (g(((2 + 0.5) * 0.25555555555555554)) - (f(((2 + 0.5) * 0.25555555555555554)))))), (u, f(((3 + 0.5) * 0.25555555555555554)), (v * (g(((3 + 0.5) * 0.25555555555555554)) - (f(((3 + 0.5) * 0.25555555555555554)))))), (u, f(((4 + 0.5) * 0.25555555555555554)), (v * (g(((4 + 0.5) * 0.25555555555555554)) - (f(((4 + 0.5) * 0.25555555555555554)))))), (u, f(((5 + 0.5) * 0.25555555555555554)), (v * (g(((5 + 0.5) * 0.25555555555555554)) - (f(((5 + 0.5) * 0.25555555555555554)))))), (u, f(((6 + 0.5) * 0.25555555555555554)), (v * (g(((6 + 0.5) * 0.25555555555555554)) - (f(((6 + 0.5) * 0.25555555555555554)))))), (u, f(((7 + 0.5) * 0.25555555555555554)), (v * (g(((7 + 0.5) * 0.25555555555555554)) - (f(((7 + 0.5) * 0.25555555555555554)))))), (u, f(((8 + 0.5) * 0.25555555555555554)), (v * (g(((8 + 0.5) * 0.25555555555555554)) - (f(((8 + 0.5) * 0.25555555555555554))))))}
  17. Sequence(Surface[u, g(((k + p) * h)), (v * (g(((k + p) * h)) - f(((k + p) * h)))), u, (k * h), ((k + 1) * h), v, 0, 1], k, 0, m - 1) → SlicesBack, {(u, g(((0.5) * 0.25555555555555554)), (v * (g(((0.5) * 0.25555555555555554)) - (f(((0.5) * 0.25555555555555554)))))), (u, g(((1 + 0.5) * 0.25555555555555554)), (v * (g(((1 + 0.5) * 0.25555555555555554)) - (f(((1 + 0.5) * 0.25555555555555554)))))), (u, g(((2 + 0.5) * 0.25555555555555554)), (v * (g(((2 + 0.5) * 0.25555555555555554)) - (f(((2 + 0.5) * 0.25555555555555554)))))), (u, g(((3 + 0.5) * 0.25555555555555554)), (v * (g(((3 + 0.5) * 0.25555555555555554)) - (f(((3 + 0.5) * 0.25555555555555554)))))), (u, g(((4 + 0.5) * 0.25555555555555554)), (v * (g(((4 + 0.5) * 0.25555555555555554)) - (f(((4 + 0.5) * 0.25555555555555554)))))), (u, g(((5 + 0.5) * 0.25555555555555554)), (v * (g(((5 + 0.5) * 0.25555555555555554)) - (f(((5 + 0.5) * 0.25555555555555554)))))), (u, g(((6 + 0.5) * 0.25555555555555554)), (v * (g(((6 + 0.5) * 0.25555555555555554)) - (f(((6 + 0.5) * 0.25555555555555554)))))), (u, g(((7 + 0.5) * 0.25555555555555554)), (v * (g(((7 + 0.5) * 0.25555555555555554)) - (f(((7 + 0.5) * 0.25555555555555554)))))), (u, g(((8 + 0.5) * 0.25555555555555554)), (v * (g(((8 + 0.5) * 0.25555555555555554)) - (f(((8 + 0.5) * 0.25555555555555554))))))}
  18. Sequence(Surface[u, (v * g(((k + p) * h))) + ((1 - v) * f(((k + p) * h))), g(((k + p) * h)) - f(((k + p) * h)), u, (k * h), ((k + 1) * h), v, 0, 1], k, 0, m - 1) → SlicesTop, {(u, (v * g(((0.5) * 0.25555555555555554))) + ((1 - v) * (f(((0.5) * 0.25555555555555554)))), g(((0.5) * 0.25555555555555554)) - (f(((0.5) * 0.25555555555555554)))), (u, (v * g(((1 + 0.5) * 0.25555555555555554))) + ((1 - v) * (f(((1 + 0.5) * 0.25555555555555554)))), g(((1 + 0.5) * 0.25555555555555554)) - (f(((1 + 0.5) * 0.25555555555555554)))), (u, (v * g(((2 + 0.5) * 0.25555555555555554))) + ((1 - v) * (f(((2 + 0.5) * 0.25555555555555554)))), g(((2 + 0.5) * 0.25555555555555554)) - (f(((2 + 0.5) * 0.25555555555555554)))), (u, (v * g(((3 + 0.5) * 0.25555555555555554))) + ((1 - v) * (f(((3 + 0.5) * 0.25555555555555554)))), g(((3 + 0.5) * 0.25555555555555554)) - (f(((3 + 0.5) * 0.25555555555555554)))), (u, (v * g(((4 + 0.5) * 0.25555555555555554))) + ((1 - v) * (f(((4 + 0.5) * 0.25555555555555554)))), g(((4 + 0.5) * 0.25555555555555554)) - (f(((4 + 0.5) * 0.25555555555555554)))), (u, (v * g(((5 + 0.5) * 0.25555555555555554))) + ((1 - v) * (f(((5 + 0.5) * 0.25555555555555554)))), g(((5 + 0.5) * 0.25555555555555554)) - (f(((5 + 0.5) * 0.25555555555555554)))), (u, (v * g(((6 + 0.5) * 0.25555555555555554))) + ((1 - v) * (f(((6 + 0.5) * 0.25555555555555554)))), g(((6 + 0.5) * 0.25555555555555554)) - (f(((6 + 0.5) * 0.25555555555555554)))), (u, (v * g(((7 + 0.5) * 0.25555555555555554))) + ((1 - v) * (f(((7 + 0.5) * 0.25555555555555554)))), g(((7 + 0.5) * 0.25555555555555554)) - (f(((7 + 0.5) * 0.25555555555555554)))), (u, (v * g(((8 + 0.5) * 0.25555555555555554))) + ((1 - v) * (f(((8 + 0.5) * 0.25555555555555554)))), g(((8 + 0.5) * 0.25555555555555554)) - (f(((8 + 0.5) * 0.25555555555555554))))}
  19. Sequence(If[Defined[Area[Element[SlicesLeft, k]]], Area[Element[SlicesLeft, k]], 0], k, 1, m) → Areas, {0.000020537164892854894, 0.011656084676646285, 0.18765034963736738, 1.0116173232181336, 3.0590228625390603, 6.1687168801485575, 8.575170617588558, 7.28505292290396, 1.7152845490162731}