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单位圆的展开：用几何构造解释三角函数

单位圆的展开：用几何构造解释三角函数
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2020-09-16 04:26
圆角三角函数数列几何作图
①本范例通过“展开单位圆”的动画与几何构造，展示从圆周角度到直线/展开尺度之间的对应关系，从而理解三角函数为何与单位圆上的坐标有关。②核心概念包括单位圆、圆心角与弧度、正弦/余弦的几何意义、由圆扇形与折线/线段映射产生的对应，以及相关的集合与实数视角（如参数取值、序列化采样）。③作图要点：使用 Min、Sequence、Zip、Element 生成参数与点的序列并取用；用 Segment、Midpoint、OrthogonalLine 构造垂线与关键线段；用 Circle、CircleArc、CircleSector 生成单位圆、圆弧与圆扇形；用 PolyLine 形成展开后的折线轨迹；用 Angle 计算或标注圆心角；并通过 CircleSector/扇形与弧的组合叠加得到“展开”效果。对象侧包含动画点（如 Animat1/Animat2）、点集列表（liste1~liste5）及角度/参数变量（α、d等）用于驱动可视化。④适合高中到大学初阶（微积分前）数学与三角函数教学，用于几何直观理解正弦余弦、弧度与单位圆关系，也适合作为课堂演示或自学可视化工具。

GeoGebra 命令及参数

  1. Min(Max[betaRegularized(2, 2.3, Extend), 0.0001], 0.9999) → Animat1
  2. Sequence(A + (i, 0), i, R, R) → Pointdebut
  3. Zip(Circle[C, B], B, Pointdebut) → Cercles
  4. Zip(Rotate[B, ((((360 * ° / (((2 * Radius[K]) * π))) * 2) * Distance[A, B]) * π), C], K, Cercles, B, Pointdebut) → PointFins
  5. Element(PointFins, Length[PointFins]) → B'
  6. Segment(B, B') → b
  7. Midpoint(B, B') → D
  8. OrthogonalLine(D, b) → c
  9. Circle(A, R) → a
  10. Segment(A, B') → g
  11. Segment(B, B') → h
  12. Sequence(Rotate[B, i, A], i, 0, 6.283185307179586, π / m) → liste1
  13. PolyLine(Append[B, PointFins]) → ABS
  14. CircleArc(C, B, B') → d
  15. Angle(B, C, B') → α
  16. Sequence(Rotate[B, i, C], i, 0, α, α / ((2 * m))) → liste2
  17. Sequence(Segment[A, Element[liste1, i]], i, 1, Length[liste1]) → liste4
  18. Sequence(Text[k - 1 + "π/" + m, Element[liste2, k] - (0.1, 0.2)], k, 1, (2 * m) + 1) → liste3
  19. Sequence(Text["" + (k) + " π / " + m, A - (0.15, 0) + (R + 0.15; (k * π / m))], k, 2, (2 * m) - 1, 2) → liste5
  20. CircleSector(A, B, Element[liste1, 2]) → e
  21. Sequence(Text["\frac{" + (k) + ((π * "}{")) + m + "}", A - (0.085, -0.12) + (R + 0.145; (k * π / m)), true, true], k, 1, (2 * m) - 1) → l2
  22. Sequence(Text["\frac{" + (k) + ((π * "}{")) + m + "}", Element[liste2, k + 1] - (0.125, -0.35), true, true], k, 1, (2 * m)) → l2b
  23. Sequence(Text[If[i ≟ 0, "0", If[i ≟ m, "π", "\frac{" + (i / GCD[i, m]) + ((π * "}{") + (m / GCD[i, m]) + "}")]], liste2(i + 1) - (0.1, 0.1), true, true], i, 0, (2 * m)) → l1
  24. Sequence(Text[If[i ≟ 0, "0", If[i ≟ m, " π", "\frac{" + (i / GCD[i, m]) + ((π * "}{") + (m / GCD[i, m]) + "}")]], A - (0.1, -0.125) + (R + 0.365; (i * π / m)), true, true], i, 1, (2 * m) - 1) → l1b

AI 绘图提示语参考

画一个单位圆，并展示其‘展开’过程以解释三角函数。从圆上一点开始，沿着圆周移动并展开成一条直线，显示角度与展开长度的对应关系。使用多个同心圆和扇形来表示角度的分割，并在展开线上标注对应的角度值和三角函数值，帮助理解圆周运动与线性展开的关联。
以上提示语为根据原始绘图命令整理而来，仅供参考。