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“Gota”几何构型：单位圆与椭圆生成、角度与相似三角形

“Gota”几何构型：单位圆与椭圆生成、角度与相似三角形
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2023-03-15 20:12
圆角三角函数数列几何作图
所属专题 geometriadinamica.es
该示例展示如何在坐标平面中用单位圆（或相关圆）与椭圆之间的几何约束，构造出带有“水滴/落点”观感的曲线构型，并通过角度关系与相似三角形来解释关键点的位置。 核心数学概念包括：单位圆/圆与圆的交点、椭圆的几何生成、角度与旋转（角度标注/旋转角）、相似三角形及其对应边成比例、以及用参数方程/曲线函数表示构造得到的曲线。 作图要点：利用 GeoGebra 的 Segment、Point 建立基线与关键点；用 OrthogonalLine 构造垂线关系；用 Circle 建立单位圆/相关圆并借助 Intersect 获取交点；用 Ellipse 生成目标椭圆；通过 Angle 获取并约束旋转与夹角；再结合 CurveCartesian 与 Sequence 生成或参数化曲线轨迹；相关对象如集合中的圆与交点（例如 P/Q、v/q、z/ZZ 系列派生量）、以及 zElipse1、zAngRot、XY 等用于表示椭圆与角度/旋转控制信息。 适合学段：高中数学“解析几何与几何作图”、竞赛几何或数学建模的几何可视化教学；也适合在 GeoGebra 课程中用于讲授几何构造、相似与角度约束的综合建模。

GeoGebra 命令及参数

  1. Segment(Q3, Q4) → p2
  2. Point(p2) → P3
  3. Segment(P3, Q4) → p4
  4. Point(p4) → P4
  5. Segment(Q1, Q2) → p1
  6. Point(p1) → P1
  7. Segment(P1, Q2) → p3
  8. Point(p3) → P2
  9. OrthogonalLine(C, yAxis) → zz1
  10. Circle(C, 0.62) → zz0
  11. Intersect(zz0, zz1, 1) → ZZ1
  12. Intersect(zz0, zz1, 2) → ZZ2
  13. Ellipse(ZZ1, ZZ2, 0.65) → zElipse1
  14. Intersect(zElipse1, zz1) → ZZ5, ZZ6
  15. Point(zElipse1) → XY
  16. Angle(ZZ6, C, XY) → zAngRot
  17. OrthogonalLine(C, xAxis) → zz2
  18. Intersect(zz0, zz2, 2) → ZZ3
  19. Intersect(zz0, zz2, 1) → ZZ4
  20. Ellipse(ZZ3, ZZ4, 0.65) → zElipse2
  21. Intersect(zElipse2, zz2) → ZZ7, ZZ8
  22. Point(zElipse2) → Z
  23. Angle(ZZ8, C, Z) → zAngInc
  24. Segment(Q5, Q6) → p5
  25. Point(p5) → P5
  26. Segment(ZZ5, ZZ6) → zz4
  27. Segment(ZZ7, ZZ8) → zz3
  28. Intersect(zElipse2, zElipse1, 1) → zPunto1
  29. Intersect(zElipse2, zElipse1, 4) → zPunto2
  30. Segment(zPunto1, zPunto2) → zSeg2
  31. CurveCartesian((r * (((((a * (b - cos(α))) * sin(α)) * cos(v)) * sin(zAngRot)) + ((((a * (b - cos(α))) * sin(α)) * sin(v)) * cos(zAngRot)))), (r * (((((((-a) * (b - cos(α))) * sin(α)) * cos(v)) * cos(zAngRot)) * sin(zAngInc)) + (((((a * (b - cos(α))) * sin(α)) * sin(v)) * sin(zAngRot)) * sin(zAngInc)) + (cos(α) * cos(zAngInc)))), v, v1, v2) → curva2
  32. CurveCartesian((r * ((((-a) * (b - cos(u))) * sin(u)) * sin(zAngRot))), (r * (((((a * (b - cos(u))) * sin(u)) * cos(zAngRot)) * sin(zAngInc)) + (cos(u) * cos(zAngInc)))), u, u1, u2) → curva1
  33. CurveCartesian((r * (((((a * (b - cos(u))) * sin(u)) * cos(β)) * sin(zAngRot)) + ((((a * (b - cos(u))) * sin(u)) * sin(β)) * cos(zAngRot)))), (r * (((((((-a) * (b - cos(u))) * sin(u)) * cos(β)) * cos(zAngRot)) * sin(zAngInc)) + (((((a * (b - cos(u))) * sin(u)) * sin(β)) * sin(zAngRot)) * sin(zAngInc)) + (cos(u) * cos(zAngInc)))), u, u1, u2) → a1
  34. Sequence(CurveCartesian[(r * (((((a * (b - cos(u))) * sin(u)) * cos(v)) * sin(zAngRot)) + ((((a * (b - cos(u))) * sin(u)) * sin(v)) * cos(zAngRot)))), (r * (((((((-a) * (b - cos(u))) * sin(u)) * cos(v)) * cos(zAngRot)) * sin(zAngInc)) + (((((a * (b - cos(u))) * sin(u)) * sin(v)) * sin(zAngRot)) * sin(zAngInc)) + (cos(u) * cos(zAngInc)))), v, v1, v2], u, u1, u2, paso) → list2
  35. Sequence(CurveCartesian[(r * (((((a * (b - cos(u))) * sin(u)) * cos(v)) * sin(zAngRot)) + ((((a * (b - cos(u))) * sin(u)) * sin(v)) * cos(zAngRot)))), (r * (((((((-a) * (b - cos(u))) * sin(u)) * cos(v)) * cos(zAngRot)) * sin(zAngInc)) + (((((a * (b - cos(u))) * sin(u)) * sin(v)) * sin(zAngRot)) * sin(zAngInc)) + (cos(u) * cos(zAngInc)))), u, u1, u2], v, v1, v2, paso) → list1

AI 绘图提示语参考

在坐标平面上绘制一个液滴状的几何图形。首先以原点为中心作一个单位圆，并在该圆内部绘制一条垂直于y轴的直线与圆相交得到两个点，以这两个点和另一个参数点构造第一个椭圆；再以单位圆与垂直于x轴的直线的交点构造第二个椭圆，使两个椭圆相交形成交叉的曲线。利用角度工具测量椭圆上关键点与圆心连线的夹角作为旋转角度和倾斜角度。最后使用参数方程沿两个方向绘制曲线网格，参数涉及椭圆系数、角度变量和比例因子，呈现出由圆与椭圆耦合生成的复杂曲线族。
以上提示语为根据原始绘图命令整理而来，仅供参考。