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皮日三角形到球体：用黎曼和刻画圆形/弧段的累计

皮日三角形到球体：用黎曼和刻画圆形/弧段的累计
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2025-03-13 20:26
圆数列立体几何微积分几何作图
所属专题 Pi Approximations
这个范例通过在单位圆及其分段曲线/弧段上，叠加上下和与平均量，展示如何用分割求和逼近曲线相关的几何量，并进一步以球体与镜像/变换形成更直观的空间图形。核心数学概念包括：单位圆与圆周几何、Riemann sum（上下和/求和逼近）、算术平均（用多个分量的均值表示近似）、以及通过几何变换获得对称结构。作图要点上，构造摘要中使用了 Sequence 生成分割点或参数列表；CurveCartesian 创建笛卡尔坐标下的曲线；Midpoint 与 Mirror 体现分段取中点、对称镜像；Sphere 用于生成球体以展示三维关联；并结合多个对象/列表（如 liste1~liste11、liste3~liste5 等）组织区间与求和项，最终形成如 R_{1}、R、β 等与上下和/区间权重相关的结果标注与图示。适合初中进阶到高中微积分启蒙、以及数学建模与动态图教学用途，可用于讲解“用分割求和逼近积分/面积”的思想。

GeoGebra 命令及参数

  1. Sequence(O + (0, (ff * f(i)), ((0.5 * ff) * g(i))), i, 0, 6.28319, (2 * pi / n)) → liste1
  2. Sequence(Segment[Element[liste1, i], Element[liste1, i + 1]], i, 1, Length[liste1]) → liste2
  3. Sequence(O + (Thickness, (ff * f(i)), ((0.5 * ff) * g(i))), i, 0, 6.28319, (2 * pi / n)) → liste3
  4. Sequence(Segment[Element[liste3, i], Element[liste3, i + 1]], i, 1, Length[liste3]) → liste4
  5. Sequence(Segment[Element[liste1, i], Element[liste3, i]], i, 1, Length[liste1]) → liste5
  6. Sequence(O + (0, (R_{1} * cos(i)), (R_{1} * sin(i))), i, 0, 6.28319, (2 * pi / n)) → liste6
  7. Sequence(O + (Thickness, (R_{1} * cos(i)), (R_{1} * sin(i))), i, 0, 6.28319, (2 * pi / n)) → liste7
  8. Sequence(Polygon[Element[liste6, i], Element[liste6, i + 1], Element[liste7, i + 1], Element[liste7, i]], i, 1, Length[liste6]) → liste8
  9. Sequence(Polygon[Element[liste1, i], Element[liste1, i + 1], Element[liste3, i + 1], Element[liste3, i]], i, 1, Length[liste3]) → liste9
  10. Sequence(Polygon[Element[liste1, i], Element[liste1, i + 1], Element[liste3, i + 1], Element[liste3, i]], i, 1, Length[liste3], 2) → liste10
  11. Sequence(Polygon[Element[liste6, i], Element[liste6, i + 1], Element[liste7, i + 1], Element[liste7, i]], i, 1, Length[liste6], 2) → liste11
  12. CurveCartesian(x(O) + (ff * f(i)), y(O) + ((0.5 * ff) * g(i)), i, 0, 6.28319) → a
  13. Midpoint(Element[liste7, 1], Element[liste7, n / 2]) → A
  14. Mirror(liste7, A) → liste7'
  15. Sequence((x(A), y(A) + ((2 * k) * cos(k)), z(A) + ((2 * k) * sin(k)) + 1), k, 0, (2 * pi), (2 * pi / 50)) → l3
  16. Sequence((x(A) + ((R + 1.5) * (1 + (sin(i) * sin(((2 * pas) * i))))) - (R + 1.5), y(A) + ((((R + 1.5) * (1 + (sin(i) * cos(((2 * pas) * i))))) - (R + 1.5)) * cos(β)), z(A) + (((((R + 1.5) * (1 + cos(i))) - (R + 1.5)) * sin(β)) * 5.6)), i, 0, c, c / 30) → l4
  17. Sphere(A, R) → b
  18. Sequence(Text[Element[l1, i], Element[l4, i]], i, 1, Length[l4]) → l2
  19. Sequence(CurveCartesian[x(A) + ((R * cos(k)) * sin(u)), y(A) + ((R * cos(k)) * cos(u)), z(A) + (R * sin(k)), k, 0, (2 * pi)], u, 0, (2 * pi), (2 * pi / 11)) → l5
  20. Sequence(CurveCartesian[x(A) + ((R * cos(k)) * sin(u)), y(A) + ((R * cos(k)) * cos(u)), z(A) + (R * sin(k)), u, 0, (2 * pi)], k, 0, (2 * pi), (2 * pi / 11)) → l6
  21. CurveCartesian(x(A) + ((R + 1.5) * (1 + (sin(i) * sin(((2 * pas) * i))))) - (R + 1.5), y(A) + ((((R + 1.5) * (1 + (sin(i) * cos(((2 * pas) * i))))) - (R + 1.5)) * cos(β)), z(A) + (((((R + 1.5) * (1 + cos(i))) - (R + 1.5)) * sin(β)) * 5.6), i, 0, c) → d
  22. CurveCartesian(x(A) + ((R + 0.5) * (1 + (sin(i) * sin(((2 * pas) * i))))) - (R + 0.5), y(A) + ((((R + 0.5) * (1 + (sin(i) * cos(((2 * pas) * i))))) - (R + 0.5)) * cos(β)), z(A) + (((((R + 0.5) * (1 + cos(i))) - (R + 0.5)) * sin(β)) * 5.6), i, 0, c) → e
  23. Element(l2, A1) → B1
  24. Element(l2, A2) → B2
  25. Element(l2, A3) → B3
  26. Element(l2, A4) → B4
  27. Element(l2, A5) → B5
  28. Element(l2, A6) → B6
  29. Element(l2, A7) → B7
  30. Element(l2, A8) → B8
  31. Element(l2, A9) → B9
  32. Element(l2, A10) → B10
  33. Element(l2, A11) → B11
  34. Element(l2, A12) → B12
  35. Element(l2, A13) → B13
  36. Element(l2, A14) → B14
  37. Element(l2, A15) → B15
  38. Element(l2, A16) → B16
  39. Element(l2, A17) → B17
  40. Element(l2, A18) → B18
  41. Element(l2, A19) → B19
  42. Element(l2, A20) → B20
  43. Element(l2, A21) → B21
  44. Element(l2, A22) → B22
  45. Element(l2, A23) → B23
  46. Element(l2, A24) → B24
  47. Element(l2, A25) → B25
  48. Element(l2, A26) → B26
  49. Element(l2, A27) → B27
  50. Element(l2, A28) → B28
  51. Element(l2, A29) → B29
  52. Element(l2, A30) → B30

AI 绘图提示语参考

绘制一个基于单位圆的黎曼和近似图形，展示上黎曼和与下黎曼和的对比，以及算术平均的组合方式。图形包含一系列曲线段和点，用于表示2D求和结构，并对称排列。进一步生成一个3D球体，将2D求和思想与球体联系起来。构造顺序为先构建2D求和图形，再创建3D球体以连接两者。
以上提示语为根据原始绘图命令整理而来，仅供参考。