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拉格朗日乘数法求条件极值

拉格朗日乘数法求条件极值
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2017-05-25 16:49
向量解析几何微积分导数最值优化
本范例演示了使用拉格朗日乘数法求解条件极值问题。通过图形化展示目标函数和约束条件，直观解释了乘数法的原理。涉及的核心数学概念包括条件极值、拉格朗日乘数法、梯度向量和函数的几何意义。作图要点使用了GeoGebra的Derivative（导数）、Point（点）、Vector（向量）、SelectedElement（选择元素）、CurveCartesian（笛卡尔曲线）、Segment（线段）、Tangent（切线）等命令和对象，如g3, g2, ell3, ell2, ell1, g1, listg, zyl_1, f, w_1, w_2, w_3, w_5, f_x, P_1, f_y, g_x, g_y, gradf_{P1}, Text1, w_4, g, b, P_2, P_3, gradf_{P2}, gradg_{P2}, gradg_{P3}, gradf_{P3}, zyl_2, zyl_3, gradg_{P1}, Text3, k21, k22, S_1, s_1, S_2, S_3, s_2。适合高中及以上学生学习和理解最值优化问题。

GeoGebra 命令及参数

  1. Derivative(f, x) → f_x
  2. Point(ell1) → P_1
  3. Derivative(f, y) → f_y
  4. Derivative(g1, x) → g_x
  5. Derivative(g1, y) → g_y
  6. Vector((f_x(x(P_1), y(P_1)), f_y(x(P_1), y(P_1)))) → gradf_{P1}
  7. SelectedElement(listg) → g
  8. SelectedIndex(listg) → b
  9. Point(ell2) → P_2
  10. Point(ell3) → P_3
  11. Vector((f_x(x(P_2), y(P_2)), f_y(x(P_2), y(P_2)))) → gradf_{P2}
  12. Vector((g_x(x(P_2), y(P_2)), g_y(x(P_2), y(P_2)))) → gradg_{P2}
  13. Vector((g_x(x(P_3), y(P_3)), g_y(x(P_3), y(P_3)))) → gradg_{P3}
  14. Vector((f_x(x(P_3), y(P_3)), f_y(x(P_3), y(P_3)))) → gradf_{P3}
  15. Vector((g_x(x(P_1), y(P_1)), g_y(x(P_1), y(P_1)))) → gradg_{P1}
  16. CurveCartesian(t, sqrt(1 - t^(2) / 2), 1 / 2 - (3 / 4 * t^(2)), t, -2, 2) → k21
  17. CurveCartesian(t, (-sqrt(1 - t^(2) / 2)), 1 / 2 - (3 / 4 * t^(2)), t, -20, 2) → k22
  18. Segment(P_1, S_1) → s_1
  19. Segment(P_2, S_2) → s_2
  20. Segment(P_3, S_3) → s_3
  21. CurveCartesian(cos(t), sin(t), f(cos(t), sin(t)), t, 0, (2 * pi)) → k1
  22. CurveCartesian((sqrt(2) * cos(t)), sin(t), f((sqrt(2) * cos(t)), sin(t)), t, 0, (2 * pi)) → k2
  23. CurveCartesian(cos(t), (sqrt(2) * sin(t)), f(cos(t), (sqrt(2) * sin(t))), t, 0, (2 * pi)) → k3
  24. Tangent(S_1, k1) → t_1
  25. Segment(S_1 - UnitVector[t_1], S_1 + UnitVector[t_1]) → t11
  26. Tangent(S_2, k2) → t_2
  27. Segment(S_2 - UnitVector[t_2], S_2 + UnitVector[t_2]) → t21
  28. Tangent(S_3, k3) → t_3
  29. Segment(S_3 - UnitVector[t_3], S_3 + UnitVector[t_3]) → t31