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指数衰减小球下落：高度—速度的动态建模

指数衰减小球下落：高度—速度的动态建模
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2021-02-12 15:02
函数数列几何作图滑块动画函数图像
该范例通过“球从一定高度下落”的动画过程，展示高度随时间的指数衰减变化，并联动速度、位移与相关几何量的动态对应关系。核心数学概念包括指数函数的衰减模型、对数与函数变换、由几何关系刻画等腰三角形的参数，以及将多量通过向量/比例关系与组合计数思想进行联结。作图要点来自构造摘要中的对象与交互：使用 time、height、f 以及速度 speed 等量来驱动模型随时间变化；同时引入函数 h、p、q、r 与 g1、s、t1、t、l、m、g、b 等中间量/函数关系以实现衰减曲线与参数计算；按钮 button1–button4 与 going 用于控制演示流程与运行状态；text1 用于标注关键量。整体适合高中到大学的函数建模、图像理解与信息化教学，也可用于微积分前的建模训练与数学建模入门。

GeoGebra 命令及参数

  1. Numeric height(6)
  2. f(x) = (height * abs((cos(x - 0.1) * ℯ^((-((x - 0.1) / 10))))))
  3. Numeric time(0)
  4. Numeric speed(20)
  5. h(x) = (-16 * x^(2)) + height
  6. p(x) = (-16 * (x(Root[h(x), 2]) - x)^(2)) + (height * ℯ^((-(x / 4))))
  7. q(x) = (-16 * (x - x(Root[p, 4]))^(2)) + (height * ℯ^((-(x(Root[p, 4]) / 4))))
  8. r(x) = (-16 * (x(Root[q(x), 6]) - x)^(2)) + (height * ℯ^((-(x / 4))))
  9. g_{1}(x) = (height * ℯ^(x / -4))
  10. y = (-16 * (x - x(Root[r, 8]))^(2)) + (height * ℯ^((-(x(Root[r, 8]) / 4))))
  11. t_{1}(x) = (-16 * (x - x(Root[s, 10]))^(2)) + (height * ℯ^((-(x / 4))))
  12. y = (-16 * (x - x(Root[t_{1}, 10]))^(2)) + (height * ℯ^((-(x(Root[t_{1}, 10]) / 4))))
  13. x(Root[t, 10])
  14. x(Root[(-16 * (x - l)^(2)) + (height * ℯ^((-(x / 4)))), 10])
  15. y = (-16 * (x - m)^(2)) + (height * ℯ^((-(m / 4))))
  16. b(x) = If[0 ≤ x < x(Root[h(x), 2]), (-16 * x^(2)) + height, If[x < x(Root[q(x), 6]), q(x), If[x < x(Root[s(x), 10]), s(x), If[x < x(Root[t(x), 10]), t(x), If[x < x(Root[g(x), 12]), g(x)]]]]]
  17. (0, b(time))
  18. Boolean going(false)

AI 绘图提示语参考

在坐标平面上建立一个随时间衰减的“抛球高度模型”可视化：先给定初始高度与时间参数，并定义一条基于指数衰减的高度函数表达；同时构造与高度相关的速度量，并准备一个用于驱动动画的时间输入。用分段函数来描述高度随时间的变化曲线，在关键时刻用根号求交点确定分段切换的边界。最后在图上标出并连接从原点出发的高度值（以时间为自变量），同时提供可运行的显示/更新状态以观察参数变化对曲线与曲线行为的影响。
以上提示语为根据原始绘图命令整理而来，仅供参考。