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多边形外角的动态构造与验证示例

多边形外角的动态构造与验证示例
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2020-08-20 17:39
多边形角向量变换几何作图
本范例展示多边形逐边的外角如何通过射线与圆弧在图形中被构造出来，并可用于观察外角相关的几何关系。核心数学概念包括：多边形外角的定义、角的度量与角的作图表达、利用平移与缩放等几何变换来生成相应构造、以及向量表示方向以强调“外角”的射线方向。作图要点：从构造摘要可见使用了 Ray（射线）来确定外角方向，Point（点）与 Polygon（多边形）提供顶点与边界，Circle（圆）与 Intersect（求交）给出辅助几何位置，CircleSector（圆扇区）用于把角的可视化范围表现出来；Dilate（缩放）和 Translate（平移）用于生成相似或对应的角构造，Vector（向量）用于刻画射线/方向信息；相关对象如 A、B、C 等顶点点与多条辅助点/标记用于组织几何关系。适合中学几何到初级竞赛训练阶段，用于课堂演示多边形外角性质、角的几何作图以及通过动态观察加深理解。

GeoGebra 命令及参数

  1. Ray(A, B) → f
  2. Ray(B, C) → g
  3. Ray(C, A) → h
  4. Circle(A, 1.5) → c
  5. Circle(B, 1.5) → d
  6. Circle(C, 1.5) → e
  7. Intersect(c, h) → D, E
  8. Intersect(c, f) → F,
  9. Intersect(d, f) → G, H
  10. Intersect(d, g) → I,
  11. Intersect(e, g) → J, K
  12. Intersect(e, h) → L,
  13. CircleSector(A, E, F) → k
  14. CircleSector(B, H, I) → p
  15. CircleSector(C, K, L) → q
  16. Dilate(A, If[0 < a ≤ 1, 1 - a, 0], C) → A'
  17. Dilate(C, If[1 < a ≤ 2, 2 - a, 0], B) → C'
  18. Vector(A, A') → u
  19. Translate(k, u) → k'
  20. Vector(C, C') → v
  21. Translate(q, v) → q'
  22. Translate(k', v) → k''
  23. Ray(M, N) → i
  24. Ray(N, O) → j
  25. Ray(O, P) → l
  26. Ray(P, M) → m
  27. Circle(M, 1.5) → r
  28. Circle(N, 1.5) → s
  29. Circle(P, 1.5) → t
  30. Circle(O, 1.5) → c_1
  31. Intersect(r, m) → Q, R
  32. Intersect(r, i) → S,
  33. Intersect(s, i) → T, U
  34. Intersect(s, j) → V,
  35. Intersect(c_1, j) → W, Z
  36. Intersect(c_1, l) → A_1,
  37. Intersect(t, l) → B_1, C_1
  38. Intersect(t, m) → D_1,
  39. CircleSector(M, R, S) → d_1
  40. CircleSector(N, U, V) → e_1
  41. CircleSector(O, Z, A_1) → f_1
  42. CircleSector(P, C_1, D_1) → g_1
  43. Dilate(M, If[0 < a ≤ 1, 1 - a, 0], P) → M'
  44. Dilate(P, If[1 < a ≤ 2, 2 - a, 0], O) → P'
  45. Dilate(O, If[2 < a ≤ 3, 3 - a, 0], N) → O'
  46. Vector(M, M') → w
  47. Vector(P, P') → n
  48. Vector(O, O') → u_1
  49. Translate(d_1, w) → h_1
  50. Translate(g_1, n) → k_1
  51. Translate(f_1, u_1) → p_1
  52. Translate(h_1, n) → q_1
  53. Translate(k_1, u_1) → r_1
  54. Translate(q_1, u_1) → s_1
  55. Ray(E_1, F_1) → i_1
  56. Ray(F_1, G_1) → j_1
  57. Ray(G_1, H_1) → l_1
  58. Ray(H_1, I_1) → m_1
  59. Ray(I_1, E_1) → n_1
  60. Circle(E_1, 1.5) → t_1
  61. Circle(I_1, 1.5) → c_2
  62. Circle(H_1, 1.5) → d_2
  63. Circle(G_1, 1.5) → e_2
  64. Circle(F_1, 1.5) → f_2
  65. Intersect(t_1, i_1) → J_1,
  66. Intersect(t_1, n_1) → K_1, L_1
  67. Intersect(c_2, n_1) → M_1,
  68. Intersect(c_2, m_1) → N_1, O_1
  69. Intersect(d_2, m_1) → P_1,
  70. Intersect(d_2, l_1) → Q_1, R_1
  71. Intersect(e_2, j_1) → S_1, T_1
  72. Intersect(e_2, l_1) → U_1,
  73. Intersect(f_2, i_1) → V_1, W_1
  74. Intersect(f_2, j_1) → Z_1,
  75. CircleSector(F_1, W_1, Z_1) → g_2
  76. CircleSector(G_1, T_1, U_1) → h_2
  77. CircleSector(H_1, R_1, P_1) → k_2
  78. CircleSector(I_1, O_1, M_1) → p_2
  79. CircleSector(E_1, L_1, J_1) → q_2
  80. Point(t_1) → A_2
  81. Dilate(E_1, If[0 < a ≤ 1, 1 - a, 0], I_1) → B_2
  82. Dilate(I_1, If[1 < a ≤ 2, 2 - a, 0], H_1) → C_2
  83. Dilate(H_1, If[2 < a ≤ 3, 3 - a, 0], G_1) → D_2
  84. Dilate(G_1, If[3 < a ≤ 4, 4 - a, 0], F_1) → E_2
  85. Vector(E_1, B_2) → v_1
  86. Vector(I_1, C_2) → w_1
  87. Vector(H_1, D_2) → a_1
  88. Vector(G_1, E_2) → b_1
  89. Translate(q_2, v_1) → r_2
  90. Translate(p_2, w_1) → s_2
  91. Translate(k_2, a_1) → t_2
  92. Translate(h_2, b_1) → c_3
  93. Translate(r_2, w_1) → d_3
  94. Translate(s_2, a_1) → e_3
  95. Translate(d_3, a_1) → f_3
  96. Translate(e_3, b_1) → g_3
  97. Translate(t_2, b_1) → h_3
  98. Translate(f_3, b_1) → k_3
  99. Polygon(E_1, F_1, G_1, H_1, I_1) → poly1, i_2, j_2, l_2, m_2, n_2
  100. Polygon(C, A, B) → t1, b_2, c_4, a_2
  101. Point(b_2) → F_2
  102. Polygon(M, N, O, P) → q1, m_3, n_3, o_2, p_3