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无字证明：球面面积

无字证明：球面面积
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2020-01-10 16:33
立体几何微积分几何作图函数图像
①本范例通过动态演示证明球面面积公式；②涉及核心数学概念：球体、圆柱体积、微积分、积分；③构造要点：使用 GeoGebra 命令如 CurveCartesian, Surface, Point, Line, Vector, Translate, Segment, Midpoint, Rotate, Circle, Polygon 等构建图形；④适合高中及以上学生及数学爱好者学习微积分与立体几何知识。

GeoGebra 命令及参数

  1. CurveCartesian(((0 * (-R)) + (R * sin((((-k)) / 4 * π))), 0, (0 * (((k / 4 * 2) * R) - R)) + ((-R) * cos(((-k) * π / 4)))), k, 0, 4) → e
  2. CurveCartesian(((R * sin(((-t) * π))), 0, ((-R) * cos(((-t) * π)))), t, 0, 1) → Sph
  3. CurveCartesian(((Animation * (-R)) + ((1 - Animation) * (R * sin((((-k)) / 4 * π)))), 0, (Animation * (((k / 4 * 2) * R) - R)) + ((1 - Animation) * ((-R) * cos(((-k) * π / 4))))), k, 0, 4) → SphLine
  4. Surface(SphLine, 360°, zAxis) → SPH
  5. CurveCartesian(((R * cos(((2 * (-t)) * π))), (R * sin(((2 * (-t)) * π)))), t, 0, 1) → Circl2
  6. CurveCartesian((((Animation - 1) * (-R)) + ((2 - Animation) * (R * cos(((2 * (-k)) * π)))), ((Animation - 1) * ((((k * 2) * π) * R) - (π * R))) + ((2 - Animation) * (R * sin(((2 * (-k)) * π))))), k, 0, 1) → SphLine2
  7. Surface(((Animation - 1) * (-R)) + ((2 - Animation) * (R * cos(((2 * ((-u)) / 8) * π)))), ((Animation - 1) * ((((u / 8 * 2) * π) * R) - (π * R))) + ((2 - Animation) * (R * sin(((2 * ((-u)) / 8) * π)))), ((v / 4 * 2) * R) - R, u, 0, 8, v, 0, 4) → SPH2
  8. CurveCartesian(((-R), (((t * 2) * π) * R) - (π * R), R), t, 0, 1) → Lin2
  9. CurveCartesian(((-R), (-π), ((t * 2) * R) - R), t, 0, 1) → Line
  10. Point(Lin2) → A
  11. Point(Line) → B
  12. Surface(x(C) + (f(s) * cos((-t))), y(C) + (f(s) * sin(t)), z(C) - f_2(s), s, -1.5708, π, t, 0, (2 * π)) → b
  13. Line(C, zAxis) → g
  14. Vector((0, 0, 0), C) → u
  15. Surface(x(D) + ((R * cos(i)) * cos(j)), y(D) + ((R * cos(i)) * sin(j)), z(D) + (R * sin(i)), i, 0, (2 * π), j, 0, (2 * π)) → c
  16. Line(D, zAxis) → h
  17. Translate(e, Vector[(0, 0, 0), D]) → Sph'
  18. Surface(Sph', 360°, h) → d
  19. CurveCartesian(((If[Animation < 1, Animation, 1] * (-R)) + (((1 - If[Animation < 1, Animation, 1]) * R) * sin((((-k)) / 4 * π))), 0, (If[Animation < 1, Animation, 1] * (((k / 4 * 2) * R) - R)) + ((1 - If[Animation < 1, Animation, 1]) * ((-R) * cos(((-k) * π / 4))))), k, 0, 4) → i
  20. Translate(i, Vector[(0, 0, 0), C]) → i'
  21. Surface(i', 360°, g) → SPH'
  22. Vector(E, F) → v
  23. Vector(G, H) → w
  24. Segment(D, I) → j
  25. Point(i') → L
  26. Segment(J, L) → k
  27. Segment(J, K) → l
  28. Midpoint(k) → M
  29. Midpoint(J, C) → N
  30. Midpoint(C, K) → O
  31. Midpoint(D, I) → P
  32. Rotate(L, 90°, l) → L'
  33. Rotate(L, (-(90°)), l) → L'_1
  34. Circle(L', L, L'_1) → p
  35. Polygon(AA, BB, CC, DD) → q1, aa, bb, cc, dd
  36. Vector(Q, S) → a

AI 绘图提示语参考

绘制一个动态演示球体表面积公式的立体几何图形。画面包含一个半圆轮廓绕轴旋转形成的球体，以及一个与球体相切的圆柱面，圆柱侧面展开成矩形，通过动画将球面的一部分逐渐展开为圆柱侧面，展示面积相等关系。图中还包含辅助的圆、线段、向量和标记点，用于指示对应关系。整体以三维坐标系呈现，突出球体、圆柱和展开过程的视觉对比。
以上提示语为根据原始绘图命令整理而来，仅供参考。