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利用圆盘法计算旋转体体积 by Mike May

利用圆盘法计算旋转体体积 by Mike May
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2016-03-19 20:20
立体几何微积分积分
所属专题 AP Calculus volume problems
①本范例演示了如何使用圆盘法计算由函数图像旋转生成的旋转体体积；②涉及的核心数学概念包括积分、圆盘法、函数图像旋转；③作图要点——从下方『构造摘要』提炼用到了 Sequence, Polygon, Rotate, Integral, Surface, RectangleSum 等GeoGebra命令/对象；④适合高中及以上学生学习和理解微积分中的体积计算方法。

GeoGebra 命令及参数

  1. Sequence(Polygon[((k * h), f(((k + p) * h))), (((k + 1) * h), f(((k + p) * h))), (((k + 1) * h), g(((k + p) * h))), ((k * h), g(((k + p) * h)))], k, 0, m - 1) → Rectangles
  2. Polygon(((DK * h), f(((DK + p) * h))), (((DK + 1) * h), f(((DK + p) * h))), (((DK + 1) * h), g(((DK + p) * h))), ((DK * h), g(((DK + p) * h)))) → Rectangle1, b, c, d, e
  3. Rotate(Rectangle1, (-α), a) → Rectangle1'
  4. Integral((π * ((2 + g(x))^(2) - (2 + f(x))^(2))), 0, 2.3) → VolInteg
  5. Rotate(Rectangles, (-α), a) → Rectangles'
  6. Rotate(g_1, (-α), a) → i
  7. Rotate(f_1, (-α), a) → j
  8. Surface(u, -2 + ((2 + f(((DK + p) * h))) * cos(β)), ((2 + f(((DK + p) * h))) * sin(β)), u, (DK * h), ((DK + 1) * h), β, 0, α) → Inner1
  9. Surface(u, -2 + ((2 + g(((DK + p) * h))) * cos(β)), ((2 + g(((DK + p) * h))) * sin(β)), u, (DK * h), ((DK + 1) * h), β, 0, α) → Outer1
  10. Surface((DK * h), -2 + ((u + 2) * cos(β)), ((u + 2) * sin(β)), u, f(((DK + p) * h)), g(((DK + p) * h)), β, 0, α) → SideLeft1
  11. Surface(((DK + 1) * h), -2 + ((u + 2) * cos(β)), ((u + 2) * sin(β)), u, f(((DK + p) * h)), g(((DK + p) * h)), β, 0, α) → SideRight1
  12. Surface(u, -2 + ((2 + f(u)) * cos(β)), ((2 + f(u)) * sin(β)), u, 0, 2.3, β, 0, (2 * π)) → InnerSurf
  13. Surface(u, -2 + ((2 + g(u)) * cos(β)), ((2 + g(u)) * sin(β)), u, 0, 2.3, β, 0, (2 * π)) → OuterSurf
  14. Sequence(Surface[u, -2 + ((2 + f(((k + p) * h))) * cos(β)), ((2 + f(((k + p) * h))) * sin(β)), u, (k * h), ((k + 1) * h), β, 0, α], k, 0, m - 1) → Inners
  15. Sequence(Surface[u, -2 + ((2 + g(((k + p) * h))) * cos(β)), ((2 + g(((k + p) * h))) * sin(β)), u, (k * h), ((k + 1) * h), β, 0, α], k, 0, m - 1) → Outers
  16. Sequence(Surface[(k * h), -2 + ((u + 2) * cos(β)), ((u + 2) * sin(β)), u, f(((k + p) * h)), g(((k + p) * h)), β, 0, α], k, 0, m - 1) → SidesLeft
  17. Sequence(Surface[((k + 1) * h), -2 + ((u + 2) * cos(β)), ((u + 2) * sin(β)), u, f(((k + 1 + p) * h)), g(((k + 1 + p) * h)), β, 0, α], k, 0, m - 1) → SidesRight
  18. RectangleSum(A, 0, (m * h), m, p) → WS

AI 绘图提示语参考

画一个旋转体的体积计算示例，展示用圆环法计算体积的过程。图形包含多个矩形和旋转后的函数图像，通过积分计算体积。先画出一系列矩形，然后旋转这些矩形和函数图像，形成旋转体的内部和外部表面。最后将所有表面组合，形成一个完整的旋转体，并用积分线表示体积计算范围。
以上提示语为根据原始绘图命令整理而来，仅供参考。