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瓦萨雷利风格与同等比变换：同心椭圆与折线段构造

瓦萨雷利风格与同等比变换：同心椭圆与折线段构造
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2021-01-15 16:26
数列变换参数方程几何作图
本范例展示如何通过同等比变换（以中心点为参照的比例缩放）生成具有瓦萨雷利式视觉节奏的几何图案：在同一构造框架下，从基准点与若干比例序列出发，逐步得到多组椭圆相关曲线与连接线段，形成对称与重复的组合效果。核心数学概念包括：同等比变换（比例缩放）、由参数或点列刻画的曲线集合、切线/切线方向（用于确定连接或轮廓）、线段与多段折线的构造，以及椭圆与其几何性质（以坐标或参数方式被用来生成图形）。作图要点：构造摘要中使用了 GeoGebra 的 Point、If、Sequence、Element 命令；并据此生成大量点对象（如 tk、ak、A1~A13、B1~B5 等），通过条件 If 控制点/参数的取值，通过 Sequence 产生索引序列与重复结构，再用 Element 从序列中取元素（如 cf、liste1~liste3 等），最终组合为折线/多边形 Poly、并使用相应线段与多段对象（如 Poly、Line Segment 相关点对）完成图案拼合。适合中学高年级至大学基础几何与数学建模学习者，用于讲解几何变换、参数化构图、以及用 GeoGebra 实现“迭代与图形生成”的创意数学活动。

GeoGebra 命令及参数

  1. Point(y = 1) → G
  2. If(cf, h, g) → f
  3. Sequence(Sequence[Dilate[(i, j), g(Distance[A, (i, j)]), A], i, 0, n + 20], j, 0, n) → liste1
  4. Sequence(Sequence[Dilate[(i, j), k(Distance[C, (i, j)]), C], i, 0, n + 20], j, 0, n) → liste3
  5. Sequence(Sequence[Dilate[(i, j), f(Distance[B, (i, j)]), B], i, 0, n + 20], j, 0, n) → liste2
  6. Sequence(Sequence[(Element[liste1, j, i] + Element[liste2, j, i] + Element[liste3, j, i]) / 3, i, 1, n + 20], j, 1, n + 1) → Points
  7. Sequence(Sequence[Polygon[Element[Points, j, i], Element[Points, j, i + 1], Element[Points, j + 1, i + 1], Element[Points, j + 1, i]], i, 1.5 + (-1)^(j) / 2, n + 20, 2], j, 1, n) → Poly
  8. Element(Poly, A1) → B1
  9. Element(Poly, A2) → B2
  10. Element(Poly, A3) → B3
  11. Element(Poly, A4) → B4
  12. Element(Poly, A5) → B5
  13. Element(Poly, A6) → B6
  14. Element(Poly, A7) → B7
  15. Element(Poly, A8) → B8
  16. Element(Poly, A9) → B9
  17. Element(Poly, A10) → B10
  18. Element(Poly, A11) → B11
  19. Element(Poly, A12) → B12
  20. Element(Poly, A13) → B13
  21. Element(Poly, A14) → B14
  22. Element(Poly, A15) → B15
  23. Element(Poly, A16) → B16
  24. Element(Poly, A17) → B17
  25. Element(Poly, A18) → B18
  26. Element(Poly, A19) → B19
  27. Element(Poly, A20) → B20
  28. Element(Poly, A21) → B21
  29. Element(Poly, A22) → B22
  30. Element(Poly, A23) → B23
  31. Element(Poly, A24) → B24
  32. Element(Poly, A25) → B25
  33. Element(Poly, A26) → B26
  34. Element(Poly, A27) → B27
  35. Element(Poly, A28) → B28
  36. Element(Poly, A29) → B29
  37. Element(Poly, A30) → B30
  38. Element(Poly, A31) → B31
  39. Element(Poly, A32) → B32
  40. Element(Poly, A33) → B33
  41. Element(Poly, A34) → B34
  42. Element(Poly, A35) → B35

AI 绘图提示语参考

绘制一幅瓦萨雷利风格的几何图案，以三个固定点为中心，对网格上的每个点进行不同比例的缩放变换，缩放比例由该点到对应中心的距离决定。将三组缩放后的点取平均值，形成新的点阵。用这些点连接成一系列交错排列的四边形，构成类似椭圆曲线与直线段组合的对称韵律图案。整体呈现重复、渐变和视觉节奏感。
以上提示语为根据原始绘图命令整理而来，仅供参考。