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等时曲线（旋轮线）滑块动画演示

等时曲线（旋轮线）滑块动画演示
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2024-10-14 20:30
函数三角函数参数方程滑块动画轨迹
所属专题 The Domain of the Time (intuitive kinematics)
本范例演示著名的等时曲线（Tautochrone）现象：沿旋轮线（cycloid）下滑的物体，无论从曲线上哪一点开始释放，到达曲线最低点的时间都相同。核心数学概念包括：旋轮线的参数方程（x=r(θ-sinθ), y=r(1-cosθ)）、能量守恒定律、速度与位移的关系、滑块动画控制。作图使用了GeoGebra命令：CurveCartesian绘制旋轮线、Point定义起始点、Tangent作切线求速度方向、UnitVector单位化速度向量、Mirror镜像反射点、Locus绘制轨迹线。可用于高中数学参数方程教学、大学微积分（导数、积分）实例，或作为物理学机械能守恒的动态演示。

GeoGebra 命令及参数

  1. CurveCartesian(((α * r), r) + (r; α + pi / 2), α, 0, (2 * pi)) → c
  2. Point(c) → M
  3. If(Length[reg] ≟ 1, {reg(1)}, Sequence[reg(k) - reg(k + 1), k, 1, Length[reg] - 1]) → regDif
  4. mean(regDif) → T
  5. Tangent(M, c) → i
  6. UnitVector(i) → n
  7. Point(c) → A
  8. Tangent(A, c) → iA
  9. UnitVector(iA) → nA
  10. Point(c) → B
  11. Tangent(B, c) → iB
  12. UnitVector(iB) → nB
  13. Mirror(Hnor, Line[S, S + (0, 1)]) → Hnor'
  14. Locus(P, M) → lugar1

AI 绘图提示语参考

绘制一个摆线，起点为参数α的函数，起点位置为(α*r, r)。定义一个点M在摆线上滑动。绘制M点的切线i，并找到其单位向量n。定义另一个点A，其切线iA的单位向量nA与n垂直。定义第三个点B，其切线iB的单位向量nB与n垂直。使用镜像操作将nB镜像到nA的方向。最后，追踪M点的轨迹形成摆线的包络线。
以上提示语为根据原始绘图命令整理而来，仅供参考。