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无字证明：平方和公式

无字证明：平方和公式
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2019-12-30 06:26
向量解析几何立体几何几何作图
①本范例通过动态图形演示了平方和公式的几何意义，即两个数的平方和与它们差的平方和的关系；②涉及的核心数学概念包括向量、几何体构造、中心对称与体积关系；③作图要点运用了PointIn, Point, Cube, Vector, Translate, Midpoint, Prism, Centroid, Line, Rotate等GeoGebra命令与对象，通过构造立方体、向量与中心点展示公式；④适合高中及以上数学学习者，用于理解代数公式与几何图形的联系，提升空间想象能力。

GeoGebra 命令及参数

  1. PointIn(f) → A
  2. Point(Circle[B, Distance[A, B], Segment[A, B]]) → H
  3. Cube(A, B, H) → a, I, faceHIML, faceJKLM, arêteAI, arêteAB, arêteBH, arêteHI, arêteAJ, arêteIM, arêteJM, arêteJK, J, arêteBK, arêteKL, arêteHL, arêteLM, K, L, M, faceABHI, faceAIMJ, faceABKJ, faceBHLK
  4. Point(Circle[C, Distance[B, C], Segment[B, C]]) → N
  5. Cube(B, C, N) → b, O, faceNOSR, facePQRS, arêteBO, arêteBC, arêteCN, arêteNO, arêteBP, arêteOS, arêtePS, arêtePQ, P, arêteCQ, arêteQR, arêteNR, arêteRS, Q, R, S, faceBCNO, faceBOSP, faceBCQP, faceCNRQ
  6. Point(Circle[D, Distance[C, D], Segment[C, D]]) → T
  7. Cube(C, D, T) → c, U, face2, face3, arêteCU, arêteCD, arêteDT, arêteTU, arêteCV, arête1, arête2, arêteVW_1, V, arêteDW, arêteWZ, arêteTZ, arête3, W, Z, A_1, faceCDTU, face1, faceCDWV, faceDTZW
  8. Point(Circle[F, Distance[G, F], Segment[G, F]]) → B_1
  9. Cube(G, F, B_1) → d, C_1, face8, face9, arête6, arêteFG, arête4, arête8, arête7, arête10, arête12, arête11, D_1, arête5, arête13, arête9, arête14, E_1, F_1, G_1, face4, face7, face5, face6
  10. Point(Circle[I, Distance[F, I], Segment[F, I]]) → H_1
  11. Cube(F, I, H_1) → e, I_1, face14, face15, arête15, arêteFI, arête17, arête19, arête16, arête21, arête23, arête22, J_1, arête18, arête24, arête20, arête25, K_1, L_1, M_1, face10, face12, face11, face13
  12. Point(Circle[K_1, Distance[J_1, K_1], Segment[J_1, K_1]]) → N_1
  13. Cube(J_1, K_1, N_1) → g, O_1, face20, face21, arête27, arête26, arête29, arête31, arête28, arête33, arête35, arête34, P_1, arête30, arête36, arête32, arête37, Q_1, R_1, S_1, face16, face18, face17, face19
  14. Point(Circle[J, Distance[K_1, J], Segment[K_1, J]]) → T_1
  15. Cube(K_1, J, T_1) → h, U_1, face26, face27, arête41, arête38, arête39, arête43, arête42, arête45, arête47, arête46, V_1, arête40, arête48, arête44, arête49, W_1, Z_1, A_2, face22, face25, face23, face24
  16. Point(Circle[V, Distance[T_1, V], Segment[T_1, V]]) → B_2
  17. Cube(T_1, V, B_2) → i, C_2, face32, face33, arête53, arête50, arête51, arête55, arête54, arête57, arête59, arête58, D_2, arête52, arête60, arête56, arête61, E_2, F_2, G_2, face28, face31, face29, face30
  18. Point(Circle[W, Distance[V, W], Segment[V, W]]) → H_2
  19. Point(Circle[N, Distance[H_1, N], Segment[H_1, N]]) → N_2
  20. Cube(H_1, N, N_2) → k, O_2, face44, face45, arête76, arête73, arête74, arête78, arête77, arête80, arête82, arête81, P_2, arête75, arête83, arête79, arête84, Q_2, R_2, S_2, face40, face43, face41, face42
  21. Point(Circle[T, Distance[N, T], Segment[N, T]]) → T_2
  22. Cube(N, T, T_2) → l, U_2, face50, face51, arête85, arêteNT, arête87, arête89, arête86, arête91, arête93, arête92, V_2, arête88, arête94, arête90, arête95, W_2, Z_2, A_3, face46, face48, face47, face49
  23. Point(Circle[N_2, Distance[B_1, N_2], Segment[B_1, N_2]]) → I_2
  24. Cube(B_1, N_2, I_2) → j, J_2, face38, face39, arête63, arête62, arête65, arête67, arête64, arête69, arête71, arête70, K_2, arête66, arête72, arête68, arête96, L_2, M_2, B_3, face34, face36, face35, face37
  25. Point(Circle[T_2, Distance[N_2, T_2], Segment[N_2, T_2]]) → C_3
  26. Cube(N_2, T_2, C_3) → m, D_3, face56, face57, arête98, arête97, arête100, arête102, arête99, arête104, arête106, arête105, E_3, arête101, arête107, arête103, arête108, F_3, G_3, H_3, face52, face54, face53, face55
  27. Point(Circle[B_2, Distance[N_1, B_2], Segment[N_1, B_2]]) → I_3
  28. Cube(N_1, B_2, I_3) → n, J_3, face62, face63, arête110, arête109, arête112, arête114, arête111, arête116, arête118, arête117, K_3, arête113, arête119, arête115, arête120, L_3, M_3, N_3, face58, face60, face59, face61
  29. Point(Circle[D_2, Distance[W_1, D_2], Segment[W_1, D_2]]) → O_3
  30. Cube(W_1, D_2, O_3) → o_2, P_3, face68, face69, arête122, arête121, arête124, arête126, arête123, arête128, arête130, arête129, Q_3, arête125, arête131, arête127, arête132, R_3, S_3, T_3, face64, face66, face65, face67
  31. PointIn(f) → AA
  32. Point(Circle[U_3, Distance[AA, U_3], Segment[AA, U_3]]) → Z_3
  33. Cube(AA, U_3, Z_3) → p, A_4, face74, face75, arête134, arête133, arête136, arête138, arête135, arête140, arête142, arête141, B_4, arête137, arête143, arête139, arête144, C_4, D_4, E_4, face70, face72, face71, face73
  34. Point(Circle[V_3, Distance[U_3, V_3], Segment[U_3, V_3]]) → F_4
  35. Cube(U_3, V_3, F_4) → q, G_4, face80, face81, arête146, arête145, arête148, arête150, arête147, arête152, arête154, arête153, H_4, arête149, arête155, arête151, arête156, I_4, J_4, K_4, face76, face78, face77, face79
  36. Point(Circle[W_3, Distance[V_3, W_3], Segment[V_3, W_3]]) → L_4
  37. Cube(V_3, W_3, L_4) → r, M_4, face86, face87, arête158, arête157, arête160, arête162, arête159, arête164, arête166, arête165, N_4, arête161, arête167, arête163, arête168, O_4, P_4, Q_4, face82, face84, face83, face85
  38. Point(Circle[H_4, Distance[B_4, H_4], Segment[B_4, H_4]]) → R_4
  39. Cube(B_4, H_4, R_4) → s, S_4, face92, face93, arête170, arête169, arête172, arête174, arête171, arête176, arête178, arête177, T_4, arête173, arête179, arête175, arête180, U_4, V_4, W_4, face88, face90, face89, face91
  40. Point(Circle[N_4, Distance[H_4, N_4], Segment[H_4, N_4]]) → Z_4
  41. Cube(H_4, N_4, Z_4) → t, A_5, face98, face99, arête182, arête181, arête184, arête186, arête183, arête188, arête190, arête189, B_5, arête185, arête191, arête187, arête192, C_5, D_5, E_5, face94, face96, face95, face97
  42. Point(Circle[O_4, Distance[N_4, O_4], Segment[N_4, O_4]]) → F_5
  43. Cube(N_4, O_4, F_5) → u, G_5, face104, face105, arête194, arête193, arête196, arête198, arête195, arête200, arête202, arête201, H_5, arête197, arête203, arête199, arête204, I_5, J_5, K_5, face100, face102, face101, face103
  44. Point(Circle[B_5, Distance[T_4, B_5], Segment[T_4, B_5]]) → L_5
  45. Cube(T_4, B_5, L_5) → v, M_5, face110, face111, arête206, arête205, arête208, arête210, arête207, arête212, arête214, arête213, N_5, arête209, arête215, arête211, arête216, O_5, P_5, Q_5, face106, face108, face107, face109
  46. Point(Circle[H_5, Distance[B_5, H_5], Segment[B_5, H_5]]) → R_5
  47. Cube(B_5, H_5, R_5) → w, S_5, face116, face117, arête218, arête217, arête220, arête222, arête219, arête224, arête226, arête225, T_5, arête221, arête227, arête223, arête228, U_5, V_5, W_5, face112, face114, face113, face115
  48. Point(Circle[I_5, Distance[H_5, I_5], Segment[H_5, I_5]]) → Z_5
  49. Cube(H_5, I_5, Z_5) → a_1, A_6, face122, face123, arête230, arête229, arête232, arête234, arête231, arête236, arête238, arête237, B_6, arête233, arête239, arête235, arête240, C_6, D_6, E_6, face118, face120, face119, face121
  50. Point(Circle[T_4, Distance[B_5, T_4], Segment[B_5, T_4]]) → F_6
  51. Cube(B_5, T_4, F_6) → b_1, G_6, face128, face129, arête244, arête241, arête242, arête246, arête245, arête248, arête250, arête249, H_6, arête243, arête251, arête247, arête252, I_6, J_6, K_6, face124, face127, face125, face126
  52. Point(Circle[B_5, Distance[H_5, B_5], Segment[H_5, B_5]]) → L_6
  53. Cube(H_5, B_5, L_6) → c_1, M_6, face134, face135, arête256, arête253, arête254, arête258, arête257, arête260, arête262, arête261, N_6, arête255, arête263, arête259, arête264, O_6, P_6, Q_6, face130, face133, face131, face132
  54. Point(Circle[H_4, Distance[N_4, H_4], Segment[N_4, H_4]]) → R_6
  55. Cube(N_4, H_4, R_6) → d_1, S_6, face140, face141, arête268, arête265, arête266, arête270, arête269, arête272, arête274, arête273, T_6, arête267, arête275, arête271, arête276, U_6, V_6, W_6, face136, face139, face137, face138
  56. Point(Circle[B_4, Distance[H_4, B_4], Segment[H_4, B_4]]) → Z_6
  57. Cube(H_4, B_4, Z_6) → e_1, A_7, face146, face147, arête280, arête277, arête278, arête282, arête281, arête284, arête286, arête285, B_7, arête279, arête287, arête283, arête288, C_7, D_7, E_7, face142, face145, face143, face144
  58. Point(Circle[F_6, Distance[L_6, F_6], Segment[L_6, F_6]]) → F_7
  59. Cube(L_6, F_6, F_7) → f_1, G_7, face152, face153, arête292, arête289, arête290, arête294, arête293, arête296, arête298, arête297, H_7, arête291, arête299, arête295, arête300, I_7, J_7, K_7, face148, face151, face149, face150
  60. PointIn(f) → BB
  61. Point(Circle[L_7, Distance[BB, L_7], Segment[BB, L_7]]) → O_7
  62. Cube(BB, L_7, O_7) → g_1, P_7, face158, face159, arête302, arête301, arête304, arête306, arête303, arête308, arête310, arête309, Q_7, arête305, arête311, arête307, arête312, R_7, S_7, T_7, face154, face156, face155, face157
  63. Point(Circle[M_7, Distance[L_7, M_7], Segment[L_7, M_7]]) → U_7
  64. Cube(L_7, M_7, U_7) → h_1, V_7, face164, face165, arête314, arête313, arête316, arête318, arête315, arête320, arête322, arête321, W_7, arête317, arête323, arête319, arête324, Z_7, A_8, B_8, face160, face162, face161, face163
  65. Point(Circle[N_7, Distance[M_7, N_7], Segment[M_7, N_7]]) → C_8
  66. Cube(M_7, N_7, C_8) → i_1, D_8, face170, face171, arête326, arête325, arête328, arête330, arête327, arête332, arête334, arête333, E_8, arête329, arête335, arête331, arête336, F_8, G_8, H_8, face166, face168, face167, face169
  67. Point(Circle[W_7, Distance[Q_7, W_7], Segment[Q_7, W_7]]) → I_8
  68. Cube(Q_7, W_7, I_8) → j_1, J_8, face176, face177, arête338, arête337, arête340, arête342, arête339, arête344, arête346, arête345, K_8, arête341, arête347, arête343, arête348, L_8, M_8, N_8, face172, face174, face173, face175
  69. Point(Circle[E_8, Distance[W_7, E_8], Segment[W_7, E_8]]) → O_8
  70. Cube(W_7, E_8, O_8) → k_1, P_8, face182, face183, arête350, arête349, arête352, arête354, arête351, arête356, arête358, arête357, Q_8, arête353, arête359, arête355, arête360, R_8, S_8, T_8, face178, face180, face179, face181
  71. Point(Circle[F_8, Distance[E_8, F_8], Segment[E_8, F_8]]) → U_8
  72. Cube(E_8, F_8, U_8) → l_1, V_8, face188, face189, arête362, arête361, arête364, arête366, arête363, arête368, arête370, arête369, W_8, arête365, arête371, arête367, arête372, Z_8, A_9, B_9, face184, face186, face185, face187
  73. Point(Circle[Q_8, Distance[K_8, Q_8], Segment[K_8, Q_8]]) → C_9
  74. Point(Circle[W_8, Distance[Q_8, W_8], Segment[Q_8, W_8]]) → I_9
  75. Point(Circle[Z_8, Distance[W_8, Z_8], Segment[W_8, Z_8]]) → O_9
  76. Point(Circle[I_9, Distance[C_9, I_9], Segment[C_9, I_9]]) → C_{10}
  77. Point(Circle[I_8, Distance[J_8, I_8], Segment[J_8, I_8]]) → I_{10}
  78. Cube(J_8, I_8, I_{10}) → r_1, J_{10}, face224, face225, arête436, arête433, arête434, arête438, arête437, arête440, arête442, arête441, K_{10}, arête435, arête443, arête439, arête444, L_{10}, M_{10}, N_{10}, face220, face223, face221, face222
  79. Point(Circle[O_8, Distance[I_8, O_8], Segment[I_8, O_8]]) → O_{10}
  80. Cube(I_8, O_8, O_{10}) → s_1, P_{10}, face230, face231, arête446, arête445, arête448, arête450, arête447, arête452, arête454, arête453, Q_{10}, arête449, arête455, arête451, arête456, R_{10}, S_{10}, T_{10}, face226, face228, face227, face229
  81. Vector(AA, WW) → u_1
  82. Translate(l1, Vector[(If[Animation < 10, Animation / 10, 1] * u_1)]) → l1'
  83. Vector(BB, W) → v_1
  84. Translate(l2, Vector[(If[Animation < 10, Animation / 10, 1] * v_1)]) → l2'
  85. Point(Circle[Q_8, Distance[K_8, Q_8], Segment[K_8, Q_8]]) → D_9
  86. Cube(K_8, Q_8, D_9) → m_1, E_9, face194, face195, arête374, arête373, arête376, arête378, arête375, arête380, arête382, arête381, F_9, arête377, arête383, arête379, arête384, G_9, H_9, J_9, face190, face192, face191, face193
  87. Point(Circle[W_8, Distance[Q_8, W_8], Segment[Q_8, W_8]]) → K_9
  88. Cube(Q_8, W_8, K_9) → n_1, L_9, face200, face201, arête386, arête385, arête388, arête390, arête387, arête392, arête394, arête393, M_9, arête389, arête395, arête391, arête396, N_9, P_9, Q_9, face196, face198, face197, face199
  89. Point(Circle[Z_8, Distance[W_8, Z_8], Segment[W_8, Z_8]]) → R_9
  90. Cube(W_8, Z_8, R_9) → o_1, S_9, face206, face207, arête398, arête397, arête400, arête402, arête399, arête404, arête406, arête405, T_9, arête401, arête407, arête403, arête408, U_9, V_9, W_9, face202, face204, face203, face205
  91. Point(Circle[D_9, Distance[E_9, D_9], Segment[E_9, D_9]]) → Z_9
  92. Cube(E_9, D_9, Z_9) → p_1, A_{10}, face212, face213, arête412, arête409, arête410, arête414, arête413, arête416, arête418, arête417, B_{10}, arête411, arête419, arête415, arête420, D_{10}, E_{10}, F_{10}, face208, face211, face209, face210
  93. Point(Circle[K_9, Distance[D_9, K_9], Segment[D_9, K_9]]) → G_{10}
  94. Cube(D_9, K_9, G_{10}) → q_1, H_{10}, face218, face219, arête422, arête421, arête424, arête426, arête423, arête428, arête430, arête429, U_{10}, arête425, arête431, arête427, arête432, V_{10}, W_{10}, Z_{10}, face214, face216, face215, face217
  95. Point(Circle[Z_9, Distance[A_{10}, Z_9], Segment[A_{10}, Z_9]]) → A_{11}
  96. Cube(A_{10}, Z_9, A_{11}) → t_1, B_{11}, face236, face237, arête460, arête457, arête458, arête462, arête461, arête464, arête466, arête465, C_{11}, arête459, arête467, arête463, arête468, D_{11}, E_{11}, F_{11}, face232, face235, face233, face234
  97. Translate(l3, Vector[(If[Animation < 10, Animation / 10, 1] * v_1)]) → l3'
  98. Midpoint(F_{11}, B_{11}) → G_{11}
  99. Midpoint(G_{10}, O_{10}) → H_{11}
  100. Midpoint(G_{10}, O_{10}) → I_{11}
  101. Midpoint(K_9, O_8) → J_{11}
  102. Midpoint(Z_8, U_9) → K_{11}
  103. Midpoint(W_8, T_9) → L_{11}
  104. Midpoint(Q_8, M_9) → M_{11}
  105. Midpoint(K_8, F_9) → N_{11}
  106. Midpoint(B_{10}, I_{10}) → O_{11}
  107. Midpoint(A_{11}, E_{11}) → P_{11}
  108. Midpoint(D_{11}, Z_9) → Q_{11}
  109. Midpoint(W_{10}, G_{10}) → R_{11}
  110. Midpoint(V_{10}, K_9) → S_{11}
  111. Midpoint(V_9, R_9) → T_{11}
  112. Midpoint(E_9, B_{10}) → U_{11}
  113. Midpoint(A_{10}, C_{11}) → V_{11}
  114. Prism(K_9, W_8, Z_8, R_9, S_{11}) → w_1, W_{11}, arête470, arête469, arête472, arête474, arête475, arête471, arête473, arête476, arête477, arête479, Z_{11}, arête480, arête478, A_{12}, face238, face240, face239, face241, face242, face243
  115. Prism(K_9, D_9, Q_8, W_8, S_{11}) → a_2, B_{12}, arête486, arête482, arête481, arête484, arête488, arête487, arête483, arête485, arête489, arête491, C_{12}, arête492, arête490, D_{12}, face244, face248, face246, face245, face247, face249
  116. Prism(K_8, Q_8, D_9, E_9, N_{11}) → b_2, E_{12}, arête493, arête496, arête498, arête494, arête495, arête497, arête499, arête500, arête501, arête503, F_{12}, arête504, arête502, G_{12}, face250, face251, face253, face254, face252, face255
  117. Prism(K_9, G_{10}, Z_9, D_9, S_{11}) → c_2, H_{12}, arête508, arête510, arête506, arête505, arête509, arête512, arête511, arête507, arête513, arête515, I_{12}, arête516, arête514, J_{12}, face256, face259, face260, face258, face257, face261
  118. Prism(D_9, E_9, A_{10}, Z_9, J_{12}) → d_2, K_{12}, arête517, arête520, arête522, arête518, arête519, arête521, arête524, arête523, arête525, arête527, L_{12}, arête528, arête526, M_{12}, face262, face263, face265, face266, face264, face267
  119. Prism(Z_9, A_{11}, B_{11}, A_{10}, M_{12}) → e_2, N_{12}, arête530, arête534, arête532, arête529, arête531, arête535, arête536, arête533, arête537, arête539, O_{12}, arête540, arête538, P_{12}, face268, face270, face272, face271, face269, face273
  120. Prism(S_{11}, D_{12}, Z_{11}, A_{12}, V_{10}) → f_2, Q_{12}, arête545, arête547, arête546, arête544, arête541, arête550, arête548, arête549, arête542, arête551, R_{12}, arête552, arête543, S_{12}, face277, face275, face279, face278, face274, face276
  121. Prism(S_{11}, J_{12}, E_{12}, D_{12}, V_{10}) → g_2, T_{12}, arête557, arête560, arête558, arête556, arête553, arête562, arête561, arête559, arête554, arête563, U_{12}, arête564, arête555, V_{12}, face283, face281, face285, face284, face280, face282
  122. Prism(J_{12}, K_{12}, N_{11}, E_{12}, T_{12}) → h_2, W_{12}, arête570, arête566, arête565, arête568, arête571, arête572, arête567, arête569, arête573, arête575, Z_{12}, arête576, arête574, A_{13}, face286, face290, face288, face287, face289, face291
  123. Prism(J_{12}, M_{12}, P_{12}, K_{12}, T_{12}) → i_2, B_{13}, arête578, arête582, arête580, arête577, arête579, arête583, arête584, arête581, arête585, arête587, C_{13}, arête588, arête586, D_{13}, face292, face294, face296, face295, face293, face297
  124. Prism(J_{12}, S_{11}, H_{12}, M_{12}, T_{12}) → j_2, E_{13}, arête590, arête589, arête592, arête594, arête595, arête591, arête593, arête596, arête597, arête599, F_{13}, arête600, arête598, G_{13}, face298, face300, face299, face301, face302, face303
  125. Prism(P_{12}, M_{12}, N_{12}, O_{12}, C_{13}) → k_2, H_{13}, arête602, arête601, arête604, arête606, arête608, arête603, arête605, arête607, arête609, arête611, I_{13}, arête612, arête610, J_{13}, face304, face306, face305, face307, face308, face309
  126. Translate(dessus, Vector[(If[Animation < 10, Animation / 10, 1] * v_1)]) → dessus'
  127. Translate(dessous, Vector[(If[Animation < 10, Animation / 10, 1] * v_1)]) → dessous'
  128. Centroid(face40) → K_{13}
  129. Line(K_{13}, zAxis) → l_2
  130. Midpoint(B_1, N_2) → L_{13}
  131. Rotate(dessus', If[Animation < 13.14, Animation - 10, 3.14], l_2) → dessus''
  132. Vector(A, A - (0, -1, 0.5)) → u_2
  133. Translate(dessus'', Vector[(If[Animation < 15, (Animation - 10) / 5, 1] * u_2)]) → dessus'''
  134. Point(l1') → P_{13}

AI 绘图提示语参考

绘制一个动态可视化图形，展示两个数的平方和与其差值的平方和之间的关系。图形包含多个立方体，通过向量、几何体构造、中心对称和体积关系来体现数学公式。首先构建两个立方体，然后通过向量、中点和中心对称关系，逐步添加更多立方体，最终形成一个复杂的几何结构，直观展示平方和的几何意义。
以上提示语为根据原始绘图命令整理而来，仅供参考。