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无字证明：奇数之和等于平方数

无字证明：奇数之和等于平方数
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2020-02-11 04:34
多边形数列变换几何作图滑块动画
① 本范例通过动态几何演示一个经典的无字证明：前n个连续奇数之和等于n的平方，即1+3+5+…+(2n-1)=n²。② 核心数学概念是奇数数列求和与平方数的几何对应，涉及数列、多边形面积以及质心（Centroid）等概念。③ 作图要点：使用GeoGebra的Intersect、Point、Polygon、Sequence、Element、Take、Centroid、Rotate、Translate、Vertex、Segment、Midpoint、Vector等命令，构造了多个多边形（p1、p2、p3等）和点列（liste1、liste2等），通过旋转和平移将奇数个正方形拼合成大正方形，并利用滑块（Animation）控制n的变化，直观展示面积关系。④ 适合中学数学（初中至高中）教学，用于数列求和、平方数、几何直观证明以及动态数学实验，也可作为数学文化素材。

GeoGebra 命令及参数

  1. Intersect(xAxis, yAxis) → A
  2. Point(xAxis) → B
  3. Polygon(A, B, C, D) → p1, a, b, c, d
  4. Sequence(Polygon[Translate[A, (i, 0)], Translate[B, (i, 0)], Translate[C, (i, 0)], Translate[D, (i, 0)]], i, 0, n - 1) → liste1
  5. Element(liste1, floor(n / 2) + 1) → p2
  6. Take(liste1, 1, floor(n / 2)) → liste2
  7. Take(liste1, floor(n / 2) + 2, n) → liste3
  8. Centroid(p2) → E
  9. Rotate(liste3, ((-Animation) * π / 2), E) → liste3'
  10. Rotate(liste3, -1.5707963267948966, E) → liste3'_1
  11. Polygon(F, G, H, I) → p3, f, g, h, i
  12. Sequence(Polygon[Translate[F, (i, 0)], Translate[G, (i, 0)], Translate[H, (i, 0)], Translate[I, (i, 0)]], i, 0, floor(n / 2)) → liste4
  13. Sequence(Translate[liste4, (0, (-i))], i, 0, floor(n / 2)) → liste5
  14. Translate(F, (floor(n / 2) + 3.5, -1)) → F'
  15. Translate(G, (floor(n / 2) + 3.5, -1)) → G'
  16. Translate(H, (floor(n / 2) + 3.5, -1)) → H'
  17. Translate(I, (floor(n / 2) + 3.5, -1)) → I'
  18. Translate(F, (floor(n / 2) + 3, -1)) → F'_1
  19. Translate(G, (floor(n / 2) + 3, -1)) → G'_1
  20. Translate(H, (floor(n / 2) + 3, -1)) → H'_1
  21. Translate(I, (floor(n / 2) + 3, -1)) → I'_1
  22. Polygon(F'_1, G'_1, H'_1, I'_1) → p3', f'_1, g'_1, h'_1, i'_1
  23. Sequence(Polygon[Translate[F'_1, (i, 0)], Translate[G'_1, (i, 0)], Translate[H'_1, (i, 0)], Translate[I'_1, (i, 0)]], i, 0, floor(n / 2) - 1) → liste6
  24. Sequence(Translate[liste6, (0, (-i))], i, 0, floor(n / 2) - 1) → liste7
  25. Translate(liste7, Vector[((2 - Animation) * (floor(n / 2) + 3, 0))]) → liste7'
  26. Translate(liste7, Vector[((2 - 3) * (floor(n / 2) + 3, 0))]) → liste7'_1
  27. Vertex(Element[liste4, 1], 4) → J
  28. Vertex(Element[liste4, floor(n / 2) + 1], 4) → K
  29. Vertex(Element[Element[liste5, floor(n / 2) + 1], floor(n / 2) + 1], 4) → L
  30. Segment(J, K) → e
  31. Segment(L, K) → j
  32. Sequence(Translate[liste4, (0, (-i))], i, 0, floor(n / 2)) → liste5b
  33. Sequence(Translate[liste6, (0, (-i))], i, 0, floor(n / 2) - 1) → liste7b
  34. Translate(liste7b, Vector[((2 - Animation) * (floor(n / 2) + 3, 0))]) → liste7b'
  35. Take(liste1, 1, floor(n / 2)) → liste2b
  36. Element(liste1, floor(n / 2) + 1) → p2b
  37. Take(liste1, floor(n / 2) + 2, n) → liste3b
  38. Rotate(liste3, ((-Animation) * π / 2), E) → liste3b'
  39. Rotate(liste3, -1.5708, E) → liste3b'_1
  40. Translate(liste7, Vector[((2 - 3) * (floor(n / 2) + 3, 0))]) → liste7b'_1
  41. Midpoint(G, M) → N
  42. Midpoint(P, O) → Q
  43. Midpoint(R, S) → T
  44. Vector(Q, T) → u
  45. Translate(Q, Vector[(If[Animation < 2, 0, If[Animation < 3, Animation - 2, 1]] * u)]) → Q'
  46. Midpoint(A, U) → W

AI 绘图提示语参考

绘制一个动态几何演示图，展示前n个连续奇数之和等于n的平方。图中包含一个由单位正方形组成的阶梯状排列，这些正方形被分成若干组，其中一组围绕其中心旋转，另一组平移，最终拼合成一个完整的大正方形。通过滑块控制n的值，观察正方形如何由奇数个单位正方形拼接而成，并显示相应的面积关系。
以上提示语为根据原始绘图命令整理而来，仅供参考。