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多边形极限：内接与外切多边形逼近圆的周长与面积

多边形极限：内接与外切多边形逼近圆的周长与面积
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2019-09-24 20:10
圆多边形数列极限滑块动画
本范例通过动态滑块控制正多边形的边数，直观展示当边数无限增加时，内接多边形和外切多边形的周长与面积如何趋近于圆的周长与面积，从而演示极限思想。核心数学概念包括极限、圆周率、正多边形、内切圆与外接圆、面积与周长逼近。作图要点：使用GeoGebra的Sequence、Element、Circle、Circumference、Segment、Sum、Area、If、Textfield、TableText、First等命令，构建了内接多边形（pointList1、segList、perimeterPoly）、外切多边形（circum_1、polyList）、半径列表（radiiList）、边心距列表（apothemList）、中点列表（midPtList）、扇形与弓形面积（sectorList、segmentArea）等对象，并通过滑块（sliderInstruct）和输入框（inputBox1）控制边数n，实时计算周长比、面积比等数值。适合高中及大学低年级学生学习极限概念、圆周率近似计算以及动态几何作图，也可用于数学实验课或探究性学习。

GeoGebra 命令及参数

  1. Sequence(Rotate[A + (r, 0), ((k * 2) * π / n), A], k, 0, n) → pointList1
  2. Sequence(Segment[Element[pointList1, k], Element[pointList1, k + 1]], k, 1, n) → segList
  3. Sequence(Midpoint[Element[segList, k]], k, 1, n) → midPtList
  4. Sequence(Segment[A, Element[midPtList, k]], k, 1, n) → apothemList
  5. Element(apothemList, 1) → radius_2
  6. Circle(A, radius_2) → circle_2
  7. Circumference(circle_2) → circum_2
  8. Segment(A, A + (r, 0)) → radius_1
  9. Sequence(Rotate[radius_1, (360° * k / n), A], k, 1, n) → radiiList
  10. Circle(A, r) → circle_1
  11. Sequence(Sector[circle_1, Element[pointList1, k], Element[pointList1, k + 1]], k, 1, n) → sectorList
  12. Sequence(((Element[segList, k] * Element[apothemList, k])) / 2, k, 1, n) → apothArea
  13. Sequence(Element[sectorList, k] - Element[apothArea, k], k, 1, n) → segmentArea
  14. Sum(segmentArea, n) → valueSegAreaTotal
  15. Sum(apothArea, n) → areaPolygon
  16. Sequence(Arc[circle_1, Element[pointList1, k], Element[pointList1, k + 1]], k, 1, n) → arclist
  17. Area(circle_1) → areaCircle_1
  18. Circumference(circle_1) → circum_1
  19. If(n < 13, Element[polyList, n - 2], n + Element[polyList, 11]) → showPolyName
  20. Textfield(n) → inputBox1
  21. Area(circle_2) → areaCircle_2
  22. TableText({{"Regular " + showPolyName, TableText[{{"No.Sides", n}, {"Area", areaPolygon}, {"Perimeter", perimeterPoly}}, "c|111_"]}}, "vc_|11") → polyText
  23. TableText({{"Circle_1 A circumscribed", TableText[{{"Radius", r}, {"Area", areaCircle_1}, {"Circumference", circum_1}}, "c|111_"]}}, "vc_|11") → circle_1Text
  24. TableText({{"Shaded Space", TableText[{{"Area", valueSegAreaTotal}, {"% of Circle", (ratioCircleSegment2Circle * 100) + "\%"}}, "c|11_"]}}, "vc_|11|") → shadeText
  25. TableText({{"White Space", TableText[{{"Area", areaPolygon}, {"% of Circle", (100 * ratioPolyArea2Circle_1) + "\%"}}, "c|11_"]}}, "vc_|11|") → whiteText
  26. TableText({{"Circle_2 A circumscribed", TableText[{{"Radius", radius_2}, {"Area", areaCircle_2}, {"Circumference", circum_2}}, "c|111_"]}}, "vc_|11") → circle_2Text
  27. First(radiiList) → radius_f
  28. First(apothemList) → apothem_f
  29. TableText({{"Central Triangle A", TableText[{{"Chord", Element[segList, 1]}, {"Apothem", Element[apothemList, 1]}, {"Area", Element[apothArea, 1]}}, "c|111_"]}}, "vc_|11") → trianText

AI 绘图提示语参考

绘制一个圆，其圆心固定，半径可调。在圆内生成一个正多边形，边数由滑块控制，从较少边数逐渐增加。同时绘制该多边形的外接圆和内切圆，并显示多边形的边、半径、边心距以及由圆心到各边中点的连线。用扇形和三角形区域表示多边形与圆之间的面积差，并动态显示多边形周长和面积与圆的周长和面积的比值，随着边数增加，这些比值趋近于1。
以上提示语为根据原始绘图命令整理而来，仅供参考。