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偏导数可视化：三维曲面上的切平面与方向导数

偏导数可视化：三维曲面上的切平面与方向导数
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2020-03-13 04:22
向量微积分导数参数方程函数图像
① 本范例通过三维坐标系中的曲面与切平面，直观演示了多元函数在某一点沿不同方向的偏导数（即方向导数）的几何意义。② 核心数学概念包括偏导数、方向导数、切平面、梯度向量以及单位向量，涉及多元微积分的基础内容。③ 作图要点：使用CurveCartesian构造参数曲面，Derivative命令计算偏导数，Tangent命令生成切线，Vector与UnitVector构造方向向量，Plane命令绘制切平面，并通过滑块a、b控制考察点的位置，对象包括yc、f、p、a、xc、A、g、b、fx、h、fy、B、u、v、n、r、q等。④ 适合大学本科微积分或高等数学课程中讲解偏导数与方向导数时使用，也可用于教师课堂演示或学生自主探索，帮助理解曲面局部线性逼近与梯度方向的关系。

GeoGebra 命令及参数

  1. CurveCartesian(t, yc, f(t, yc), t, -100, 100) → a
  2. Tangent(A, a) → g
  3. CurveCartesian(xc, t, f(xc, t), t, -100, 100) → b
  4. Derivative(f, x) → fx
  5. Tangent(A, b) → h
  6. Derivative(f, y) → fy
  7. Vector(B) → u
  8. Vector(A, A + B) → v
  9. UnitVector(v) → n
  10. Plane(g, h) → r

AI 绘图提示语参考

在一个三维曲面上，绘制一个点及其对应的切平面，展示该点处的偏导数和方向导数的几何意义。首先生成一个参数化曲面，然后在该点处绘制切线，分别沿 x 轴和 y 轴方向计算偏导数并生成切线，接着绘制表示偏导数的向量，并构造方向向量和单位向量，最后利用切线和方向向量生成切平面。
以上提示语为根据原始绘图命令整理而来，仅供参考。