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矩形内切圆锥曲线的最优化问题：百分比与几何构造

矩形内切圆锥曲线的最优化问题：百分比与几何构造
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2020-11-29 21:40
多边形角最值优化几何作图
所属专题 Exploring the Conditions for Congruence of 2 Triangles
该范例演示了在矩形框架内通过动态点构造圆锥曲线（如椭圆或双曲线）并研究其面积或周长占比的最优化问题。核心数学概念包括圆锥曲线（Conic Sections）、矩形与多边形的几何关系、百分比计算、以及最优化（Optimization）思想。作图要点：使用GeoGebra的Point、Vector、Sequence、Intersect、Segment、DynamicCoordinates、Polygon、If、Angle等命令，创建了C2、A、B、v、UPoints、C1、u、VPoints、D、E、F、k、j、uCopy、C、f、g、vCopy、C'、h、G、d、t1、closed1、text1、i、t3、l、m、n、α、β、γ、δ等对象，通过动态坐标和序列生成点列，利用相交与线段构造封闭图形，并用角度和条件判断控制图形变化。适合高中或大学低年级学生用于探究圆锥曲线与几何优化问题，也可作为数学建模或动态几何教学的示例。

GeoGebra 命令及参数

  1. Point(Sequence[A + (i, 0), i, 1, 20, 1]) → B
  2. Vector(B, C2) → v
  3. Sequence((x(B) + (Length[v] * cos(t°)), y(B) + (Length[v] * sin(t°))), t, 0, 355, 5) → UPoints
  4. Vector(A, C1) → u
  5. Sequence((x(A) + (Length[u] * cos(t°)), y(A) + (Length[u] * sin(t°))), t, 0, 355, 5) → VPoints
  6. Intersect(Ray[D, Rotate[D + (1, 0), 40°, D]], Ray[E, Rotate[E - (1, 0), (-(55°)), E]]) → F
  7. Segment(F, D) → k
  8. Segment(E, F) → j
  9. DynamicCoordinates(C1, x(ClosestPoint[VPoints, C1]), y(ClosestPoint[VPoints, C1])) → C
  10. Segment(A, C) → f
  11. Segment(A, B) → g
  12. DynamicCoordinates(C2, x(ClosestPoint[UPoints, C2]), y(ClosestPoint[UPoints, C2])) → C'
  13. Segment(C', B) → h
  14. Intersect(Ray[A, C], Ray[B, C']) → G
  15. Polygon({A, B, G}) → t1
  16. If(C ≟ G ∧ C' ≟ G, true, false) → closed1
  17. Segment(D, E) → i
  18. Polygon(D, E, F) → t3, l, m, n
  19. Angle(E, D, F) → α
  20. Angle(B, A, C) → β
  21. Angle(F, E, D) → γ
  22. Angle(C', B, A) → δ

AI 绘图提示语参考

在平面中先作两条底边点列确定矩形的一侧：在一条水平线上生成若干离散点作为起点，再取另一个参考点分别指向两组中心附近的方向向量。用方向向量从这两点沿不同角度射出射线，并求两射线的交点得到一个拐折点，再连成与两端参考点相连的线段。将两组射线形成的点列投影到各自中心，得到两个可变中心点；从这些中心点分别取与底边端点的连线。再用相交得到第三个顶点，连接三个关键顶点形成一个闭合三角形，并在闭合条件满足时显示它；同时额外连出由三点构成的三角形边与若干角度标注，计算并标出拐折点与端点处的三个角及其随几何变化的对应角度。
以上提示语为根据原始绘图命令整理而来，仅供参考。