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球面点的极端分布问题：用向量与优化刻画均匀性

球面点的极端分布问题：用向量与优化刻画均匀性
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2020-09-09 17:04
圆向量立体几何最值优化几何作图
该范例演示如何在球面上构造并研究一组点的“极端分布”现象，突出点在球面上配置差异对目标函数（如分布均匀性/离散度）带来的最优或最差特征。核心数学概念包括：球面（Sphere）与其曲面几何、向量/三维向量表示、质心或重心（Centroid or Barycenter）用于刻画对称与平均性质、以及以优化问题（Optimization Problems）为导向建立约束与目标量。作图要点从构造摘要中可见：使用 Text 与 LaTeX 标注关键量，借助 Sphere 生成球体几何；用 Textfield、UnicodeToLetter、TableText 与 Append 组织参数化文字与表格输出；通过 Zip 与 If 进行分支逻辑与数据汇总；用 Sum 计算累积目标/约束量，并结合矩阵/均值类对象（如 m1、m2、Um0、Um1、O、R、R 与相关集合元素）与参数输入（InputBox1、InputBox2、r、n、p1 等）生成可交互的分布与评价指标。适合高中到大学的几何建模与数值优化入门课程，亦可用于竞赛备课中讲解球面几何离散优化的建模思路。

GeoGebra 命令及参数

  1. Text("" + Um1) → txt_p
  2. LaTeX(Um1) → lll1_1
  3. LaTeX(Um0) → lll0
  4. Sphere(O, R) → p1
  5. Textfield(n) → InputBox1
  6. Textfield(i0) → InputBox2
  7. Text(r) → Txtr
  8. Textfield(k_1) → InputBox4
  9. UnicodeToLetter(34) → u34
  10. Textfield(k_2) → InputBox5
  11. TableText(ltxt0, ltxt1, "v") → textltxt01
  12. Append(A, Sequence[((random(), random(), random()) * R), i, 2, n]) → l2s
  13. Text(("(up\; to\; 10^{-15})\;\\ accuracy= " * ScientificText[cc, 3]), C, true, true) → text5r
  14. Zip(Vector[a, a + UnitVector[a]], a, lP') → lVector1
  15. Textfield(scale) → InputBox6
  16. TableText(Append["i", 1…n], Append[" \fgcolor{orange}{GM :Δφ_i}, rad", l1], Append["\fgcolor{magenta}{GC :Δφ_i} , rad", l1c], "v") → text23
  17. If(bu, "Animation", "Stop") → bue0
  18. Zip(Vector[a, a + (1.5 * UnitVector[b])], a, lP', b, Wi_P) → lVector3
  19. Zip(Vector[a, a + (1.5 * UnitVector[b])], a, lP', b, Wi_Pc) → lVector2
  20. TableText({Join[{{"n"}, Sequence[i, i, 4, 69 + 3]}], Join[{{" p_n=P_n/[R*n*(n-1)/2]"}, lp}]}, "vl") → txt_lp
  21. Sum(Flatten[Sequence[Append[Sequence[Element[txt_p, i], i, m1(k), m2(k)], " "], k, 1, 5]]) → txtUm1
  22. Zip(Segment[Element[lP', y(a)], Element[lP', z(a)]], a, ll1bb(1)) → ll1
  23. Zip(Segment[Element[lP', y(a)], Element[lP', z(a)]], a, ll1bb(2)) → ll2
  24. Zip(Segment[Element[lP', y(a)], Element[lP', z(a)]], a, ll1bb(3)) → ll3
  25. Zip(Segment[Element[lP', y(a)], Element[lP', z(a)]], a, ll1bb(4)) → ll4
  26. Zip(Segment[Element[lP', y(a)], Element[lP', z(a)]], a, ll1bb(5)) → ll5
  27. Zip(Segment[Element[lP', y(a)], Element[lP', z(a)]], a, ll1bb(6)) → ll6
  28. Zip(Segment[Element[lP', y(a)], Element[lP', z(a)]], a, ll1bb(7)) → ll7
  29. Zip(Segment[Element[lP', y(a)], Element[lP', z(a)]], a, ll1bb(8)) → ll8
  30. Zip(Segment[Element[lP', y(a)], Element[lP', z(a)]], a, ll1bb(9)) → ll9
  31. Zip(Segment[Element[lP', y(a)], Element[lP', z(a)]], a, ll1bb(10)) → ll10
  32. Text("\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\fgcolor{" + (If[c', "orange", "brown"]) + "} \boxed{ " + c' + ("}\;\;\;\; \;\;\;\;\; \\\;\; ( accuracy- up\; to\;\; 2.*10^{" - k_2) + ("\;})\;\\\;\; ➤➤➤\;\;\;\scalebox{1.5}{ " + (ScientificText[cc, 3])) + "}\;█ ", C, true, true) → text9

AI 绘图提示语参考

在三维空间中绘制一个球体，并在其表面随机分布若干点。为每个点计算其与球心的向量，并基于这些向量生成一系列颜色和粗细不同的线段，从球心指向各点。同时，标注球体的半径、点的数量以及每个点的向量信息，并展示这些点的分布均匀性分析结果。
以上提示语为根据原始绘图命令整理而来，仅供参考。