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比较数值积分方法

比较数值积分方法
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2019-08-06 10:36
函数微积分积分
本范例演示了数值积分的不同方法，包括上求和、下求和、矩形求和以及梯形求和。通过这些方法，学生可以直观地理解积分的概念及其应用。主要涉及的核心数学概念有：积分、矩形求和、梯形求和。使用了GeoGebra中的Point、Sequence、BarChart、Integral、LeftSum、RectangleSum、TrapezoidalSum等命令。适合高中数学教学，特别是微积分课程。

GeoGebra 命令及参数

  1. Point(xAxis) → A
  2. Point(xAxis) → B
  3. Sequence(a + (i * Δx), i, 0, n) → X
  4. Sequence(Element[X, i] + Δx / 2, i, 1, n) → X2
  5. Sequence(a + (i * Δx) + (Δx * random()), i, 0, n - 1) → RandList
  6. BarChart(a, b, f(RandList)) → RandApprox
  7. Sequence(Determinant[{{Element[X, (2 * i) - 1], f(Element[X, (2 * i) - 1]), 1}, {Element[X, (2 * i)], f(Element[X, (2 * i)]), 1}, {Element[X, (2 * i) + 1], f(Element[X, (2 * i) + 1]), 1}}], i, 1, n / 2, 1) → P
  8. Sequence(Determinant[{{Element[X, (2 * i) - 1]^(2), f(Element[X, (2 * i) - 1]), 1}, {Element[X, (2 * i)]^(2), f(Element[X, (2 * i)]), 1}, {Element[X, (2 * i) + 1]^(2), f(Element[X, (2 * i) + 1]), 1}}], i, 1, n / 2, 1) → Q
  9. Sequence(Determinant[{{Element[X, (2 * i) - 1]^(2), Element[X, (2 * i) - 1], f(Element[X, (2 * i) - 1])}, {Element[X, (2 * i)]^(2), Element[X, (2 * i)], f(Element[X, (2 * i)])}, {Element[X, (2 * i) + 1]^(2), Element[X, (2 * i) + 1], f(Element[X, (2 * i) + 1])}}], i, 1, n / 2, 1) → R
  10. Sequence(Determinant[{{Element[X, (2 * i) - 1]^(2), Element[X, (2 * i) - 1], 1}, {Element[X, (2 * i)]^(2), Element[X, (2 * i)], 1}, {Element[X, (2 * i) + 1]^(2), Element[X, (2 * i) + 1], 1}}], i, 1, n / 2, 1) → S
  11. Sequence(If[x ≥ Element[X, (2 * i) - 1] ∧ x ≤ Element[X, (2 * i) + 1], (-1 / Element[S, i] * ((Element[P, i] * x^(2)) - (Element[Q, i] * x) - Element[R, i]))], i, 1, n / 2) → simp
  12. Sequence((Element[X, i], f(Element[X, i])), i, 1, n + 1) → points
  13. Integral(Element[simp, 1], Element[X, 1], Element[X, 3]) → d
  14. Integral(Element[simp, 2], Element[X, 3], Element[X, 5]) → g
  15. Integral(Element[simp, 3], Element[X, 5], Element[X, 7]) → h
  16. Integral(Element[simp, 4], Element[X, 7], Element[X, 9]) → j
  17. Integral(Element[simp, 5], Element[X, 9], Element[X, 11]) → k
  18. Integral(Element[simp, 6], Element[X, 11], Element[X, 13]) → l
  19. Integral(Element[simp, 7], Element[X, 13], Element[X, 15]) → o
  20. Integral(Element[simp, 8], Element[X, 15], Element[X, 17]) → p
  21. Integral(Element[simp, 9], Element[X, 17], Element[X, 19]) → q
  22. Integral(Element[simp, 10], Element[X, 19], Element[X, 21]) → r
  23. LeftSum(f, a, b, n) → v
  24. RectangleSum(f, a, b, n, 1) → w
  25. TrapezoidalSum(f, a, b, n) → a_1
  26. Segment(A, C) → f_1
  27. Segment(B, D) → g_1

AI 绘图提示语参考

在坐标平面上绘制一个函数曲线，并在其下方展示多种数值积分方法的近似区域。首先在x轴上取两个点作为积分区间端点，将区间等分为若干子区间。用不同方式填充这些子区间：用随机高度柱状图表示随机采样近似，用左端点高度绘制矩形和，用中点高度绘制矩形和，以及用梯形近似。同时，用二次多项式分段拟合采样点，并计算每段下的精确面积。最后，用线段连接区间端点与函数曲线上的对应点，直观对比各方法的误差。
以上提示语为根据原始绘图命令整理而来，仅供参考。