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分形面积（一）：迭代旋转与缩放构造的几何面积探索

分形面积（一）：迭代旋转与缩放构造的几何面积探索
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2020-05-23 15:33
多边形数列极限变换
① 本范例演示了通过迭代旋转和缩放操作构造一个分形图形，并动态计算其面积变化的过程，直观展示分形几何中面积随迭代次数变化的规律。② 核心数学概念包括分形几何、面积计算、相似变换（旋转与缩放）、序列迭代以及极限思想，涉及多边形、椭圆、矩形等基本几何对象与实数参数。③ 作图要点：使用GeoGebra的Rotate（旋转）、Dilate（缩放）、Sequence（序列）和Polygon（多边形）命令，创建点A、B、C、D、O及旋转缩放后的点A'、B'、C'、D'，通过列表list1至list5存储迭代结果，并利用滑块n控制迭代次数，最终生成分形多边形poly1并显示面积文本text1等。④ 适合高中及以上学段，用于分形几何入门、迭代与极限概念教学，也可作为数学建模或探究性学习的素材，帮助学生理解自相似图形与面积收敛现象。

GeoGebra 命令及参数

  1. Rotate(A, -1.5708, B) → C
  2. Rotate(B, 1.5707963267948966, A) → D
  3. Dilate(A, 0.3333333333333333, O) → A'
  4. Dilate(B, 0.3333333333333333, O) → B'
  5. Dilate(C, 0.3333333333333333, O) → C'
  6. Dilate(D, 0.3333333333333333, O) → D'
  7. Sequence(Vector[O, Element[set, i]], i, 1, 8) → Vec
  8. Sequence(Translate[Dilate[list1, 0.3333333333333333, O], Vector[(2 / 3 * Element[Vec, i])]], i, 1, 8) → list2
  9. Sequence(Translate[Dilate[list2, 0.3333333333333333, O], Vector[(2 / 3 * Element[Vec, i])]], i, 1, 8) → list3
  10. Sequence(Translate[Dilate[list3, 0.3333333333333333, O], Vector[(2 / 3 * Element[Vec, i])]], i, 1, 8) → list4
  11. Sequence(Translate[Dilate[list4, 0.3333333333333333, O], Vector[(2 / 3 * Element[Vec, i])]], i, 1, 8) → list5
  12. Sequence(A + (i * Vector[A, B]), i, 0, 1, 0.3333333333333333) → liste1
  13. Sequence(D + (i * Vector[A, B]), i, 0, 1, 0.33333) → liste2
  14. Sequence(A + (i * Vector[A, D]), i, 0, 1, 0.33333) → liste3
  15. Sequence(B + (i * Vector[B, C]), i, 0, 1, 0.33333) → liste4
  16. Sequence(Segment[Element[liste1, i], Element[liste2, i]], i, 1, Length[liste1]) → liste5
  17. Sequence(Segment[Element[liste3, i], Element[liste4, i]], i, 1, Length[liste3]) → liste6
  18. Polygon(A, B, C, D) → poly1, a, b, c, d

AI 绘图提示语参考

绘制一个由正方形经过多次旋转和缩放迭代生成的分形图形。初始正方形四个顶点，以其中一个顶点为旋转中心，将相邻顶点旋转90度得到新顶点，形成新的四边形。然后以中心点为缩放中心，将整个四边形缩小至三分之一，并沿八个方向平移复制，重复此过程多次，每次迭代都生成更小的四边形，最终叠加形成具有自相似性的分形图案。用滑块控制迭代次数，并显示当前分形的面积，观察面积随迭代次数的变化趋势。
以上提示语为根据原始绘图命令整理而来，仅供参考。