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偏导存在但不可微的反例：用路径交点展示几何异常

偏导存在但不可微的反例：用路径交点展示几何异常
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2020-09-09 23:50
微积分导数几何作图函数图像
本范例通过几何图形刻画“偏导数存在，但函数不在该点可微”的现象。核心数学概念包括偏导数的存在性、可微性的判定、以及由参数化曲线与局部几何关系反映的“光滑性”差异。作图要点：利用构造摘要中的 IntersectPath 命令，对对象 f、h、g、p、i、j 对路径进行求交，从而得到用于展示该异常行为的关键交点/轨迹位置；这些交点对应于函数在局部的几何约束或极限方向，从而支撑“偏导存在却不可微”的反例展示。适合微积分课程中讲解导数/可微性的典型反例、或在微分中“必要条件与充分条件”对比教学中的探究活动。

GeoGebra 命令及参数

  1. IntersectPath(f, y = 0) → h
  2. IntersectPath(f, x = 0) → g
  3. IntersectPath(p, x = 0) → i
  4. IntersectPath(p, y = 0) → j

AI 绘图提示语参考

在同一坐标系中绘制一个函数图像作为基础曲线，并用两条坐标轴把它与坐标轴的交点标出来：求该曲线与水平线 y=0 的交点得到一个关键点（或小片段），再求与竖直线 x=0 的交点得到另一个关键点。随后再引入另一条相关曲线，并分别计算它与 x=0、y=0 这两条坐标轴的交点，将这两个交点与前面的交点对应起来，用于展示“部分导数在某点存在但整体不可微”时在不同坐标方向上表现可能不同的几何关系。
以上提示语为根据原始绘图命令整理而来，仅供参考。