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Truncated Cuboctahedron Construction in 3D

Truncated Cuboctahedron Construction in 3D
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2017-11-21 15:32
PolygonCoordinate GeometrySolid GeometryTransformationGeometric Construction
① This example demonstrates how to construct a truncated cuboctahedron, an Archimedean solid with square, regular hexagonal, and regular octagonal faces, using GeoGebra's 3D environment. ② Core mathematical concepts include polyhedral structure (vertices, edges, faces), rotational symmetry, and spatial transformations; the solid is built by rotating and replicating polygons. ③ Construction highlights: from the summary, the Polygon command creates base polygons, and the Rotate command is applied to numerous vertices (e.g., A1-A16, B1-B14, C1-C8) to generate faces and assemble the complete polyhedron; extensive vertex coordinate rotations are involved. ④ Suitable for high school or university solid geometry courses, useful for understanding Archimedean solids and as a teaching example for 3D modeling and geometric transformations.

GeoGebra Commands & Parameters

  1. Polygon(D32, D8, D4, D30, D26, D2, D6, D28) → wielokąt1, d32, d8, d4, d30, d26, d2, d6, d28
  2. Rotate(D20, α, Line[D28, D32]) → D20'
  3. Rotate(D24, α, Line[D28, D32]) → D24'
  4. Polygon(D28, D32, D24', D20') → wielokąt2, d28_1, d32_1, d24', d20'
  5. Rotate(D35, α, Line[D2, D6]) → D35'
  6. Rotate(D39, α, Line[D2, D6]) → D39'
  7. Polygon(D2, D6, D39', D35') → wielokąt3, d2_1, d6_1, d39', d35'
  8. Rotate(D23, α, Line[D30, D26]) → D23'
  9. Rotate(D19, α, Line[D30, D26]) → D19'
  10. Polygon(D30, D26, D19', D23') → wielokąt4, d30_1, d26_1, d19', d23'
  11. Rotate(D40, α, Line[D8, D4]) → D40'
  12. Rotate(D36, α, Line[D8, D4]) → D36'
  13. Polygon(D8, D4, D36', D40') → wielokąt5, d8_1, d4_1, d36', d40'
  14. Rotate(D24, β, Line[D32, D8]) → D24'_1
  15. Rotate(D48, β, Line[D32, D8]) → D48'
  16. Rotate(D16, β, Line[D32, D8]) → D16'
  17. Rotate(D40, β, Line[D32, D8]) → D40'_1
  18. Polygon(D48', D24'_1, D32, D8, D40'_1, D16') → wielokąt6, d48', d24'_1, d32_2, d8_2, d40'_1, d16'
  19. Rotate(D39, β, Line[D6, D28]) → D39'_1
  20. Rotate(D15, β, Line[D6, D28]) → D15'
  21. Rotate(D46, β, Line[D6, D28]) → D46'
  22. Rotate(D20, β, Line[D6, D28]) → D20'_1
  23. Polygon(D6, D28, D20'_1, D46', D15', D39'_1) → wielokąt7, d6_2, d28_2, d20'_1, d46', d15', d39'_1
  24. Rotate(D19, β, Line[D26, D2]) → D19'_1
  25. Rotate(D45, β, Line[D26, D2]) → D45'
  26. Rotate(D13, β, Line[D26, D2]) → D13'
  27. Rotate(D35, β, Line[D26, D2]) → D35'_1
  28. Polygon(D19'_1, D26, D2, D35'_1, D13', D45') → wielokąt8, d19'_1, d26_2, d2_2, d35'_1, d13', d45'
  29. Rotate(D36, β, Line[D4, D30]) → D36'_1
  30. Rotate(D14, β, Line[D4, D30]) → D14'
  31. Rotate(D47, β, Line[D4, D30]) → D47'
  32. Rotate(D23, β, Line[D4, D30]) → D23'_1
  33. Polygon(D36'_1, D4, D30, D23'_1, D47', D14') → wielokąt9, d36'_1, d4_2, d30_2, d23'_1, d47', d14'
  34. Rotate(Rotate[D13, α, Line[D35, D39]], α, Line[D2, D6]) → A
  35. Rotate(Rotate[D9, α, Line[D35, D39]], α, Line[D2, D6]) → B
  36. Rotate(Rotate[D33, α, Line[D35, D39]], α, Line[D2, D6]) → C
  37. Rotate(Rotate[D37, α, Line[D35, D39]], α, Line[D2, D6]) → D
  38. Rotate(Rotate[D11, α, Line[D35, D39]], α, Line[D2, D6]) → E
  39. Rotate(Rotate[D15, α, Line[D35, D39]], α, Line[D2, D6]) → F
  40. Polygon(D39', F, E, D, C, B, A, D35') → wielokąt10, d39'_2, f, e, d, c, b_1, a_1, d35'_2
  41. Rotate(Rotate[D47, α, Line[D23, D19]], α, Line[D30, D26]) → G
  42. Rotate(Rotate[D43, α, Line[D23, D19]], α, Line[D30, D26]) → H
  43. Rotate(Rotate[D21, α, Line[D23, D19]], α, Line[D30, D26]) → I
  44. Rotate(Rotate[D17, α, Line[D23, D19]], α, Line[D30, D26]) → J
  45. Rotate(Rotate[D41, α, Line[D23, D19]], α, Line[D30, D26]) → K
  46. Rotate(Rotate[D45, α, Line[D23, D19]], α, Line[D30, D26]) → L
  47. Polygon(D19', L, K, J, I, H, G, D23') → wielokąt11, d19'_2, l, k_1, j, i, h, g, d23'_2
  48. Rotate(Rotate[D16, α, Line[D40, D36]], α, Line[D8, D4]) → M
  49. Rotate(Rotate[D12, α, Line[D40, D36]], α, Line[D8, D4]) → N
  50. Rotate(Rotate[D38, α, Line[D40, D36]], α, Line[D8, D4]) → O
  51. Rotate(Rotate[D34, α, Line[D40, D36]], α, Line[D8, D4]) → P
  52. Rotate(Rotate[D10, α, Line[D40, D36]], α, Line[D8, D4]) → Q
  53. Rotate(Rotate[D14, α, Line[D40, D36]], α, Line[D8, D4]) → R
  54. Polygon(D40', D36', R, Q, P, O, N, M) → wielokąt12, d40'_2, d36'_2, r, q, p, o, n, m
  55. Rotate(Rotate[D46, α, Line[D20, D24]], α, Line[D28, D32]) → S
  56. Rotate(Rotate[D42, α, Line[D20, D24]], α, Line[D28, D32]) → T
  57. Rotate(Rotate[D18, α, Line[D20, D24]], α, Line[D28, D32]) → U
  58. Rotate(Rotate[D22, α, Line[D20, D24]], α, Line[D28, D32]) → V
  59. Rotate(Rotate[D44, α, Line[D20, D24]], α, Line[D28, D32]) → W
  60. Rotate(Rotate[D48, α, Line[D20, D24]], α, Line[D28, D32]) → Z
  61. Polygon(D20', D24', Z, W, V, U, T, S) → wielokąt13, d20'_2, d24'_2, z_1, w, v, u, t, s_3
  62. Rotate(Rotate[Rotate[D43, α, Line[D10, D14]], α, Line[D40, D36]], α, Line[D8, D4]) → A_1
  63. Rotate(Rotate[Rotate[D47, α, Line[D10, D14]], α, Line[D40, D36]], α, Line[D8, D4]) → B_1
  64. Polygon(R, B_1, A_1, Q) → wielokąt14, r_1, b_2, a_2, q_1
  65. Rotate(Rotate[Rotate[D12, α, Line[D44, D48]], α, Line[D20, D24]], α, Line[D28, D32]) → C_1
  66. Rotate(Rotate[Rotate[D16, α, Line[D44, D48]], α, Line[D20, D24]], α, Line[D28, D32]) → D_1
  67. Polygon(Z, D_1, C_1, W) → wielokąt15, z_2, d_1, c_1, w_1
  68. Rotate(Rotate[Rotate[D42, α, Line[D11, D15]], α, Line[D35, D39]], α, Line[D2, D6]) → E_1
  69. Rotate(Rotate[Rotate[D46, α, Line[D11, D15]], α, Line[D35, D39]], α, Line[D2, D6]) → F_1
  70. Polygon(F, F_1, E_1, E) → wielokąt16, f_1, f_2, e_1, e_2
  71. Rotate(Rotate[Rotate[D9, α, Line[D41, D45]], α, Line[D23, D19]], α, Line[D30, D26]) → G_1
  72. Rotate(Rotate[Rotate[D13, α, Line[D41, D45]], α, Line[D23, D19]], α, Line[D30, D26]) → H_1
  73. Polygon(L, H_1, G_1, K) → wielokąt17, l_1, h_1, g_1, k_2
  74. Rotate(Rotate[Rotate[D25, β, Line[D17, D41]], α, Line[D23, D19]], α, Line[D30, D26]) → I_1
  75. Rotate(Rotate[Rotate[D1, β, Line[D17, D41]], α, Line[D23, D19]], α, Line[D30, D26]) → J_1
  76. Rotate(Rotate[Rotate[D33, β, Line[D17, D41]], α, Line[D23, D19]], α, Line[D30, D26]) → K_1
  77. Rotate(Rotate[Rotate[D9, β, Line[D17, D41]], α, Line[D23, D19]], α, Line[D30, D26]) → L_1
  78. Polygon(K, L_1, K_1, J_1, I_1, J) → wielokąt18, k_3, l_2, k_4, j_1, i_1, j_2
  79. Rotate(Rotate[Rotate[D3, β, Line[D34, D10]], α, Line[D40, D36]], α, Line[D8, D4]) → M_1
  80. Rotate(Rotate[Rotate[D29, β, Line[D34, D10]], α, Line[D40, D36]], α, Line[D8, D4]) → N_1
  81. Rotate(Rotate[Rotate[D21, β, Line[D34, D10]], α, Line[D40, D36]], α, Line[D8, D4]) → O_1
  82. Rotate(Rotate[Rotate[D43, β, Line[D34, D10]], α, Line[D40, D36]], α, Line[D8, D4]) → P_1
  83. Polygon(Q, P_1, O_1, N_1, M_1, P) → wielokąt19, q_2, p_1, o_1, n_1, m_1, p_2
  84. Rotate(Rotate[Rotate[D31, β, Line[D22, D44]], α, Line[D20, D24]], α, Line[D28, D32]) → Q_1
  85. Rotate(Rotate[Rotate[D7, β, Line[D22, D44]], α, Line[D20, D24]], α, Line[D28, D32]) → R_1
  86. Rotate(Rotate[Rotate[D38, β, Line[D22, D44]], α, Line[D20, D24]], α, Line[D28, D32]) → S_1
  87. Rotate(Rotate[Rotate[D12, β, Line[D22, D44]], α, Line[D20, D24]], α, Line[D28, D32]) → T_1
  88. Polygon(V, W, T_1, S_1, R_1, Q_1) → wielokąt20, v_1, w_2, t_1, s_1, r_2, q_3
  89. Rotate(Rotate[Rotate[D5, β, Line[D37, D11]], α, Line[D35, D39]], α, Line[D2, D6]) → U_1
  90. Rotate(Rotate[Rotate[D27, β, Line[D37, D11]], α, Line[D35, D39]], α, Line[D2, D6]) → V_1
  91. Rotate(Rotate[Rotate[D18, β, Line[D37, D11]], α, Line[D35, D39]], α, Line[D2, D6]) → W_1
  92. Rotate(Rotate[Rotate[D42, β, Line[D37, D11]], α, Line[D35, D39]], α, Line[D2, D6]) → Z_1
  93. Polygon(E, Z_1, W_1, V_1, U_1, D) → wielokąt21, e_3, z_3, w_3, v_2, u_1, d_2
  94. Rotate(Rotate[Rotate[D1, α, Line[D33, D37]], α, Line[D35, D39]], α, Line[D2, D6]) → A_2
  95. Rotate(Rotate[Rotate[D5, α, Line[D33, D37]], α, Line[D35, D39]], α, Line[D2, D6]) → B_2
  96. Polygon(C, D, B_2, A_2) → wielokąt22, c_2, d_3, b_3, a_3
  97. Rotate(Rotate[Rotate[D29, α, Line[D21, D17]], α, Line[D23, D19]], α, Line[D30, D26]) → C_2
  98. Rotate(Rotate[Rotate[D25, α, Line[D21, D17]], α, Line[D23, D19]], α, Line[D30, D26]) → D_2
  99. Polygon(I, J, D_2, C_2) → wielokąt23, i_2, j_3, d_4, c_3
  100. Rotate(Rotate[Rotate[D7, α, Line[D38, D34]], α, Line[D40, D36]], α, Line[D8, D4]) → E_2
  101. Rotate(Rotate[Rotate[D3, α, Line[D38, D34]], α, Line[D40, D36]], α, Line[D8, D4]) → F_2
  102. Polygon(O, P, F_2, E_2) → wielokąt24, o_2, p_3, f_3, e_4
  103. Rotate(Rotate[Rotate[D27, α, Line[D18, D22]], α, Line[D20, D24]], α, Line[D28, D32]) → G_2
  104. Rotate(Rotate[Rotate[D31, α, Line[D18, D22]], α, Line[D20, D24]], α, Line[D28, D32]) → H_2
  105. Polygon(U, V, H_2, G_2) → wielokąt25, u_2, v_3, h_2, g_2
  106. Rotate(Rotate[Rotate[Rotate[D5, α, Line[D27, D31]], α, Line[D18, D22]], α, Line[D20, D24]], α, Line[D28, D32]) → I_2
  107. Rotate(Rotate[Rotate[Rotate[D1, α, Line[D27, D31]], α, Line[D18, D22]], α, Line[D20, D24]], α, Line[D28, D32]) → J_2
  108. Rotate(Rotate[Rotate[Rotate[D25, α, Line[D27, D31]], α, Line[D18, D22]], α, Line[D20, D24]], α, Line[D28, D32]) → K_2
  109. Rotate(Rotate[Rotate[Rotate[D29, α, Line[D27, D31]], α, Line[D18, D22]], α, Line[D20, D24]], α, Line[D28, D32]) → L_2
  110. Rotate(Rotate[Rotate[Rotate[D3, α, Line[D27, D31]], α, Line[D18, D22]], α, Line[D20, D24]], α, Line[D28, D32]) → M_2
  111. Rotate(Rotate[Rotate[Rotate[D7, α, Line[D27, D31]], α, Line[D18, D22]], α, Line[D20, D24]], α, Line[D28, D32]) → N_2
  112. Polygon(H_2, N_2, M_2, L_2, K_2, J_2, I_2, G_2) → wielokąt26, h_3, n_2, m_2, l_3, k_5, j_4, i_3, g_3

AI Drawing Prompt Reference

Construct a truncated cuboctahedron by first creating square, regular hexagonal, and regular octagonal polygons as base shapes, then generating faces by rotating these polygons. Specifically, rotate D20 and D24 around D28 and D32 to create D20' and D24', and use D28 and D32 as axes to generate wielokąt2; next, rotate D35 and D39 around D28 and D32 to create D35' and D39', and use D2 and D6 as axes to generate wielokąt3; continue by rotating D23 and D19 around D30 and D26 to create D23' and D19', and use D30 and D26 as axes to generate wielokąt4; finally, rotate D40 and D36 around D8 and D4 to create D40' and D36', and use D8 and D4 as axes to generate wielokąt5.
The prompt above was compiled from the original drawing commands and is for reference only.