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为什么正弦函数的导数是余弦？

为什么正弦函数的导数是余弦？
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2020-09-08 17:20
圆函数三角函数微积分导数
该 GeoGebra 范例通过动态构图直观展示了正弦函数导数等于余弦函数的几何意义。利用圆、切线、向量和序列命令，动态演示了切线斜率与函数导数的关系，核心概念涉及三角函数、导数、圆的几何性质和向量运动。作图要点包括使用 Circle、Tangent、Intersect、Vector、Sequence 等命令构建动态切线及其轨迹，适合高中微积分导数单元或三角函数深入学习的演示与探究。

GeoGebra 命令及参数

  1. Circle(O, R, xAxis) → c
  2. Rotate(A, (-t), xAxis) → A'
  3. Segment(O, A') → f
  4. Translate(c, Vector[O, B]) → c'
  5. Segment(C, O') → g
  6. Segment(D, O') → h
  7. Sequence((i, 0, (R * sin(i))), i, 0, t - (4 * π), (2 * π / Step)) → l1
  8. Sequence((i, 0, 0), i, 0, t - (4 * π), (2 * π / Step)) → l2
  9. Sequence(Segment[Element[l1, i], Element[l2, i]], i, 1, Length[l1]) → l3
  10. Segment(O, E) → i
  11. Segment(O - (0, 0, R), O + (0, 0, R)) → j
  12. Segment(A', E) → k
  13. Segment(E, O) → l
  14. Midpoint(O, A) → F
  15. Midpoint(O, F) → G
  16. Midpoint(A', O) → H
  17. Midpoint(H, O) → I
  18. Rotate(G, ((-t)) / 2, xAxis) → G'
  19. CircumcircleArc(G, G', I) → e
  20. Segment(O, A) → m
  21. Rotate(G, t / 2, xAxis) → G'_1
  22. CircumcircleArc(G, G'_1, I) → p
  23. Segment(D, C) → n_1
  24. Tangent(A', c) → n,
  25. Circle(A', R, xAxis) → q
  26. Intersect(n, q) → J, K
  27. Vector(A', K) → u
  28. Circle(A', R, xAxis) → r
  29. Point(zAxis) → L
  30. Vector(A', L) → v
  31. Translate(K, Vector[(If[t < 0.5, 0, If[0.5 < t < (4 * π), t / 15, 1]] * v)]) → K'
  32. CurveCartesian(i, 0, (R * sin(i)), i, 0, t - (4 * π)) → a
  33. CurveCartesian(i, 0, R, i, 0, t - (4 * π)) → b
  34. CurveCartesian(i, 0, (-R), i, 0, t - (4 * π)) → d
  35. Translate(r, Vector[(If[t < 0.5, 0, If[0.5 < t < (4 * π), t / 15, 1]] * v)]) → r'
  36. Translate(A', Vector[(If[t < 0.5, 0, If[0.5 < t < (4 * π), t / 15, 1]] * v)]) → A''
  37. Vector(A'', K') → w
  38. Ray(L, L + (1, 0, 0)) → s
  39. CurveCartesian(i, 0, (R * cos(i)), i, 0, t - (4 * π)) → o
  40. Translate(o, Vector[O, L]) → o'
  41. Circle(M, R, s) → c_1
  42. Segment(M, N) → f_1
  43. Segment(P, M) → g_1
  44. Segment(P, N) → h_1
  45. Vector(L, L + ((15 * π / 2), 0, 0)) → u_1
  46. Sequence(Translate[L, Vector[(i * u_1)]], i, 0, 1, 1 / 15) → l4
  47. Segment(L - (0, 0, R), O + (0, 0, R)) → i_1
  48. Sequence(L + (i, 0, (R * cos(i))), i, 0, t - (4 * π), (2 * π / Step)) → l5
  49. Sequence(L + (i, 0, 0), i, 0, t - (4 * π), (2 * π / Step)) → l6
  50. Sequence(Segment[Element[l5, i], Element[l6, i]], i, 1, Length[l5]) → l7

AI 绘图提示语参考

画一个动态演示正弦函数求导等于余弦函数的图形。首先绘制一个圆，然后在该圆上标记一个点并画出其切线。通过旋转该点，展示切线方向的变化，并追踪切线端点的轨迹。同时，用向量表示切线方向，并将其与余弦函数的图像关联起来。整个图形应动态展示正弦函数的导数与余弦函数之间的关系，适合用于数学教学。
以上提示语为根据原始绘图命令整理而来，仅供参考。