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立方体展开：用立体几何与旋转构造“打开”的面网

立方体展开：用立体几何与旋转构造“打开”的面网
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2021-01-17 18:29
角立体几何变换几何作图
本例演示如何在几何软件中构造并展示“打开立方体”的过程：通过将立方体的各个面围绕公共棱进行旋转与镜像，得到相应面之间在展开状态下的相对位置关系。核心数学概念包括立体几何（立方体面、棱）、面法/共同棱的约束，以及在平面中利用角度与旋转实现空间到展开的对应；同时涉及用圆与角度标记来确定旋转中心与展开幅度。作图要点：使用 GeoGebra 的 Point、Cube 生成点与立方体整体；用 Midpoint 计算中点作为构造参考；用 Pyramid 与 Circle 辅助确定空间结构与旋转相关的几何量；利用 Angle 设定关键角度，结合 Rotate 完成面围绕棱的旋转；用 Line 与 OrthogonalPlane 生成直线参考与正交平面以控制展开投影/放置；再用 Mirror 构造对称对应的面。对象层面包括多个立方体面（如 faceABCD、faceADHE、faceABFE 等）及其相关边（edgeAB、edgeAD、edgeCG 等），并在展开过程中追踪旋转角 α 与相关点集合。适合中学到大学初阶的立体几何教学与建模练习，用于理解折叠/展开纸模、空间角关系与几何变换。

GeoGebra 命令及参数

  1. Point(xAxis) → A
  2. Point(yAxis) → B
  3. Point(Circle[B, Distance[A, B], Segment[A, B]]) → C
  4. Cube(A, B, C) → a, D, faceCDHG, faceEFGH, edgeAD, edgeAB, edgeBC, edgeCD, edgeAE, edgeDH, edgeEH, edgeEF, E, edgeBF, edgeFG, edgeCG, edgeGH, F, G, H, faceABCD, faceADHE, faceABFE, faceBCGF
  5. Midpoint(D, F) → I
  6. Pyramid(faceABCD, I) → b, faceADI, faceABI_1, faceBCI, faceCDI, edgeDI, edgeAI_1, edgeBI_1, edgeCI
  7. Circle(edgeAB, F) → c
  8. Point(c) → J
  9. Angle(F, B, J) → α
  10. Pyramid(faceABFE, I) → d, faceABI, faceAEI, faceEFI, faceBFI, edgeBI, edgeAI, edgeEI, edgeFI
  11. Rotate(d, α, edgeAB) → d'
  12. Rotate(d', 90°, zAxis) → d''
  13. Rotate(d'', 90°, zAxis) → d'''
  14. Rotate(d''', 90°, zAxis) → e
  15. Line(B, J) → f
  16. Midpoint(B, J) → K
  17. OrthogonalPlane(K, f) → g
  18. Mirror(b, g) → b'

AI 绘图提示语参考

绘制一个三维立方体，然后将其六个面沿公共边展开成平面展开图。先建立立方体，并以其一个面为基准，构造一个辅助棱锥用于定位。在一条底边上取一点，通过该点与相邻顶点确定一个旋转角度，控制面的展开程度。将相邻面绕公共边旋转该角度，再依次绕垂直轴旋转三次，形成展开后的相邻面。最后，通过一条辅助线构造对称平面，将基准棱锥镜像，得到展开图中对应的另一部分。整个图形展示立方体从立体到平面逐步展开的过程，包含多个命名面与边，并保留旋转角度参数。
以上提示语为根据原始绘图命令整理而来，仅供参考。