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球极平面投影：三维球面到二维平面的映射演示

球极平面投影：三维球面到二维平面的映射演示
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2020-07-27 03:49
立体几何变换参数方程几何作图轨迹
该范例演示了球极平面投影（Stereographic projection）这一经典几何变换，将三维球面上的点（除投影极点外）通过从极点发出的射线映射到二维平面上，直观展示球面与平面之间的保角对应关系。核心数学概念包括球面几何、投影变换、直线与球面的交点、以及参数曲线（如球面上的经纬线或任意曲线）在投影后的像。作图要点：利用GeoGebra的Sphere命令创建球体，通过CurveCartesian定义球面上的参数曲线，使用Point、Segment和Vector构造投影射线与方向，借助Mirror、Translate和Polygon实现对称与辅助图形，并通过Sequence生成点列或曲线族，配合Textfield和Slider（如Taille、n、p等参数）实现交互控制。该范例适合高中至大学阶段的立体几何、解析几何或拓扑学教学，也可用于数学可视化演示，帮助学生理解球面与平面之间的映射性质及保角性。

GeoGebra 命令及参数

  1. Element(liste1, n) → p
  2. CurveCartesian(x(O) + (2 * f1(t) / (1 + f1(t)^(2) + g1(t)^(2))), y(O) + (2 * g1(t) / (1 + f1(t)^(2) + g1(t)^(2))), z(O) + (-1 + f1(t)^(2) + g1(t)^(2)) / (1 + f1(t)^(2) + g1(t)^(2)), t, 0, 6.28319) → cp3
  3. Sphere(O, 1) → aa
  4. Vector(O, A) → u
  5. CurveCartesian(x(O) + f1(t), y(O) + g1(t), z(O), t, 0, 6.28319) → cp2
  6. Translate(cp2, u) → cp2'
  7. Polygon(C, B, E, D) → poly1, c, b_1, e, d
  8. Segment(O, A) → a
  9. Sequence(Segment[B + (i * Vector[B, C]), E + (i * Vector[B, C])], i, 0, 1, 0.05) → liste2
  10. Sequence(Segment[E + (i * Vector[E, B]), D + (i * Vector[E, B])], i, 0, 1, 0.05) → liste3
  11. Textfield(f) → ChampTexte1
  12. Textfield(g) → ChampTexte2
  13. Point(Segment[O + (0, 0, 1), O - (0, 0, 1)]) → AA
  14. Mirror(A, O) → A'
  15. Segment(K, P) → b

AI 绘图提示语参考

绘制一个单位球面，球心位于原点，并显示从球心到球面上一点的方向向量。在球面上用参数曲线表示经纬线或任意曲线，并通过从球极（北极点）发出的射线，将球面上的点投影到赤道平面上，形成对应的平面曲线。同时，在赤道平面上绘制一个四边形网格，用密集的平行线段填充，以展示投影的连续变形。添加两个文本输入框用于输入参数函数，以及一个可沿球轴移动的点，用于动态调整投影中心。整体展示球面与平面之间的保角映射关系。
以上提示语为根据原始绘图命令整理而来，仅供参考。