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正方形内嵌正方形系列之三：相似变换与向量构造

正方形内嵌正方形系列之三：相似变换与向量构造
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2016-07-17 10:16
多边形向量积分变换几何作图
该范例演示了在一个大正方形内部通过相似变换和向量平移逐层嵌套生成一系列小正方形的几何图形，形成类似分形或递归的视觉结构。核心数学概念包括正方形的周长与面积关系、内切圆与相似变换、三维向量在平面上的投影应用、指数增长规律以及定积分思想在面积累加中的体现。作图要点：使用GeoGebra的Circle、Point、Ray、Intersect、Segment、OrthogonalLine、Line、Vector、Translate、Polygon等命令，先构造基础正方形及其内切圆，再通过正交线、交点确定关键点，利用向量平移和相似变换生成嵌套的正方形序列，并涉及多个辅助对象如l_1、n_3等。适合高中及以上学生探索几何变换、向量运算与面积累加的关系，也可用于数学建模或艺术设计中的图案生成。

GeoGebra 命令及参数

  1. Circle(A, 6) → c
  2. Point(c) → B
  3. Ray(B, A) → a
  4. Intersect(c, a, 2) → D
  5. Segment(B, D) → q
  6. Point(q) → F
  7. Segment(F, D) → j
  8. OrthogonalLine(A, a) → b
  9. Intersect(c, b, 2) → E
  10. Segment(E, B) → g
  11. Intersect(c, b, 1) → C
  12. Segment(C, D) → e
  13. Line(B, e) → l_1
  14. Point(j) → G
  15. Ray(G, D) → m
  16. Point(m) → H
  17. OrthogonalLine(H, g) → n_3
  18. Segment(B, C) → d
  19. Segment(D, E) → f
  20. OrthogonalLine(F, g) → h
  21. OrthogonalLine(F, d) → i
  22. OrthogonalLine(G, g) → k
  23. OrthogonalLine(G, d) → l
  24. OrthogonalLine(H, d) → p
  25. Intersect(i, k) → I
  26. Intersect(h, l) → J
  27. Intersect(l, n_3) → K
  28. Intersect(k, p) → L
  29. Intersect(h, g) → M
  30. Intersect(i, d) → N
  31. Segment(M, J) → r
  32. Segment(N, I) → s
  33. Segment(I, L) → t
  34. Segment(J, K) → a_1
  35. Segment(K, H) → b_1
  36. Segment(L, H) → c_1
  37. Segment(B, M) → d_1
  38. Segment(F, M) → f_1
  39. Point(f_1) → O
  40. Intersect(k, g) → P
  41. Segment(G, P) → g_1
  42. Point(g_1) → Q
  43. Line(O, g) → e_1
  44. Intersect(e_1, g_1) → R
  45. Segment(O, R) → h_1
  46. Intersect(n_3, l_1) → S
  47. Segment(K, S) → i_1
  48. Line(Q, g) → j_1
  49. Intersect(j_1, i_1) → T
  50. Segment(Q, T) → k_1
  51. Segment(B, N) → m_1
  52. Segment(F, N) → n_1
  53. Point(n_1) → U
  54. OrthogonalLine(J, f) → p_1
  55. OrthogonalLine(U, e) → q_1
  56. Intersect(p_1, q_1) → V
  57. Segment(U, V) → r_1
  58. Intersect(p_1, d) → W
  59. Segment(G, W) → s_1
  60. Point(s_1) → Z
  61. OrthogonalLine(H, f) → t_1
  62. Line(Z, f) → a_2
  63. Intersect(t_1, a_2) → A_1
  64. Segment(Z, A_1) → b_2
  65. Vector(B, C) → u
  66. Translate(X, u) → X'
  67. Vector(X, X') → v
  68. Point(v) → Y
  69. Polygon(X, Y, 4) → poly1, c_2, d_2, e_2, f_2, C_1, D_1
  70. Vector(X, Y) → w
  71. Translate(X, z) → X'_1
  72. Vector(X, X'_1) → u_1
  73. Point(u_1) → E_1
  74. OrthogonalLine(E_1, e_2) → g_2
  75. OrthogonalLine(D_1, f_2) → h_2
  76. Intersect(h_2, g_2) → F_1
  77. Segment(E_1, F_1) → i_2
  78. Circle(X, Length[u_1]) → k_2
  79. Line(D_1, X) → j_2
  80. Intersect(k_2, j_2, 2) → G_1
  81. Segment(X, G_1) → l_2
  82. Point(l_2) → H_1
  83. OrthogonalLine(H_1, f_2) → m_2
  84. OrthogonalLine(Y, c_2) → n_2
  85. Intersect(m_2, n_2) → I_1
  86. Segment(H_1, I_1) → p_2

AI 绘图提示语参考

绘制一个大正方形，并在其内部递归地绘制更小的正方形，通过相似变换和向量平移生成一系列嵌套的正方形。首先确定大正方形的内切圆，然后通过正交线和交点找到关键点，接着使用向量平移和相似变换生成后续的嵌套正方形，最终形成一个分形图案。
以上提示语为根据原始绘图命令整理而来，仅供参考。