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旋转体体积计算（绕X轴和Y轴）

旋转体体积计算（绕X轴和Y轴）
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2018-05-06 10:31
函数立体几何微积分积分参数方程
本范例演示了如何通过旋转曲线绕X轴和Y轴生成旋转体，并计算其体积。涉及的核心数学概念包括旋转体体积公式、参数方程、对数函数和二次函数。作图要点——从下方『构造摘要』提炼用到了哪些 GeoGebra 命令/对象：Textfield（文本输入框）、Line（直线）、Intersect（交点）、CurveCartesian（笛卡尔曲线）、Segment（线段）、Surface（曲面）、Invert（反演）、Rotate（旋转）、If（条件判断）；对象包括d, f, c, rx, ry, φ, ϕ, Textfeld1, a, b, Textfeld2, Textfeld3, g_1, I, g_2, J, k, Textfeld4, Textfeld5, A, B, G, F, D, C, s_1, s_2, f_x, f_u, V_x, V_y, ff_u, Text1, Text2, s_3, s_4, k_x, k_y, f_y。适合高中及以上学生学习和理解旋转体体积计算方法，以及参数方程的应用。

GeoGebra 命令及参数

  1. Textfield(f) → Textfeld1
  2. Textfield(a) → Textfeld2
  3. Textfield(b) → Textfeld3
  4. Line((0, c), Vector[(1, 0)]) → g_1
  5. Intersect(f, g_1, (1, f(1))) → I
  6. Line((0, d), Vector[(1, 0)]) → g_2
  7. Intersect(f, g_2, (d, f(d))) → J
  8. CurveCartesian(t, f(t), 0, t, -5, 5) → k
  9. Textfield(c) → Textfeld4
  10. Textfield(d) → Textfeld5
  11. Segment(A, G) → s_1
  12. Segment(B, F) → s_2
  13. Surface(u, (f(u) * cos(w)), (f(u) * sin(w)), u, a, b, w, 0, φ) → f_x
  14. Invert(f) → f_u
  15. Segment(C, I) → s_3
  16. Segment(D, J) → s_4
  17. Rotate(If[a ≤ x ≤ b, f], φ, xAxis) → k_x
  18. If(f_u(c) < f_u(d), Rotate[If[f_u(c) ≤ x ≤ f_u(d), f(x)], (-ϕ), yAxis], Rotate[If[f_u(d) ≤ x ≤ f_u(c), f(x)], (-ϕ), yAxis]) → k_y
  19. If(f_u(c) < f_u(d), Surface[(uu * cos(ww)), f(uu), (uu * sin(ww)), uu, f_u(c), f_u(d), ww, 0, ϕ], Surface[(uu * cos(ww)), f(uu), (uu * sin(ww)), uu, f_u(d), f_u(c), ww, 0, ϕ]) → f_y