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比值规律：矩形对半分割的迭代构型

比值规律：矩形对半分割的迭代构型
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2020-08-12 15:01
多边形函数数列几何作图
这个范例演示如何用“对半分割”的比值规律，不断缩放并连接几何要素，生成由比值驱动的矩形（及其相关边界）逐步细化的图形现象。核心数学概念包括：比值（ratios）与有理数，长度比例与相似三角形思想，以及用迭代/序列方式把“每步减半或按固定比例”转化为可作图的点与线段集合。作图要点是将参数与比例因子（如 r、W、l1、l2、l3… 等）组织为可控变量，并借助 GeoGebra 命令：IterationList 生成迭代序列；Sequence 构造按规则递进的索引/元素；Intersect 计算分割线与边界的交点；Polygon/Segment/Append 组装多边形轮廓与线段链；If 用于条件分支（控制是否在某些步生成对象）；Vertex、Textfield 用于管理顶点与标注比值/长度信息。对象方面体现为多段构件（poly1 等）、函数/关系（f、g、h、i 等用于映射或计算）以及比值显示（ratio、q1、q2、text1…text3）。适合中学及以上学生用于比例、相似几何与数列/迭代思想的综合探究，也可作为课堂的可视化作图示范或课后探究题。

GeoGebra 命令及参数

  1. IterationList(x / 2, W, N) → l1
  2. IterationList(x / 2, L, N) → l2
  3. Intersect(xAxis, yAxis) → A
  4. Sequence(A + (0, l1(i)), i, 1, N + 1) → l5
  5. Sequence(A + (l2(i), l1(i - 1)), i, 2, N + 1) → l4
  6. Sequence(A + (l2(i), 0), i, 1, N + 1) → l3
  7. Sequence(Segment[l3(i + 1), l4(i)], i, 1, N) → l6
  8. Sequence(Midpoint[l6(i)], i, 1, N) → l8
  9. Sequence(Polygon[l8(i), l3(i + 1), A, l5(i + 1)], i, 1, N) → l12
  10. Sequence(Polygon[A, l5(i + 1), l4(i + 1), l3(i + 2)], i, 1, N - 1) → l10
  11. Polygon(A, C, l4(1), l3(2)) → poly1, f, g, h, i
  12. Append(poly1, l10) → l11
  13. Append(Polygon[A, B, D, C], l12) → l13
  14. Polygon(A, B, D, C) → q1, a, b, d, c
  15. Sequence(A + (0, l1(i)), i, 1, N + 1) → l7
  16. If(Mod[Sl, 2] ≟ 1, l11(ceil(Sl / 2)), l13(Sl / 2 + 1)) → q2
  17. Sequence(Segment[l5(i + 1), l8(i)], i, 1, N) → l9
  18. If(Mod[Sl, 2] ≟ 1, l6(ceil(Sl / 2)), l9(Sl / 2)) → j
  19. Sequence(Segment[l3(i + 1), l4(i)], i, 1, ceil(Sl / 2)) → l14
  20. Sequence(Segment[l5(i + 1), l8(i)], i, 1, Sl / 2) → l15
  21. Vertex(q2) → E, E_2, E_3, E_4
  22. Segment(E_3, E_2) → l
  23. Segment(E, E_2) → w
  24. Textfield(r) → InputBox2
  25. If(l > w, l / w, w / l) → e

AI 绘图提示语参考

请绘制一个由矩形逐步细分形成的图形。图形由一系列连接的形状组成，这些形状通过反复应用固定比例（如将长度减半）来构建。关键对象包括一个中心点A，以及一系列由A生成的点，这些点通过比例关系连接。构造顺序是从中心点开始，逐步添加形状，最终形成复杂的多边形结构。图形应清晰展示比例和相似性，适合用于学习几何和比例推理。
以上提示语为根据原始绘图命令整理而来，仅供参考。