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相似平行四边形面积法证明勾股定理（动态可调）

相似平行四边形面积法证明勾股定理（动态可调）
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2019-06-04 21:58
多边形角变换几何作图滑块动画
① 本范例通过构造两个相似平行四边形，直观演示了勾股定理的几何证明：以直角三角形三边为边分别作相似平行四边形，其面积关系满足两小平行四边形面积之和等于大平行四边形面积。② 核心数学概念包括勾股定理、相似形、面积关系、平行四边形性质以及位似（Dilation）变换。③ 作图要点：利用GeoGebra命令如Semicircle（半圆）、Point、Polygon、Rotate（旋转）、Ray、Circle、Intersect、Line、Midpoint、OrthogonalLine（垂线）、Dilate（位似）、Vector、Translate（平移）、Segment、Angle、Distance等，构造直角三角形及其三边上的相似平行四边形，并通过滑块或动态点调整形状，实时观察面积变化。④ 适合中学几何教学、勾股定理的直观证明演示，以及动态数学实验，帮助学生理解面积法与相似形的应用。

GeoGebra 命令及参数

  1. Semicircle(A, B) → c
  2. Point(c) → C
  3. Polygon(A, C, B) → t1, b, a, c_1
  4. Rotate(B, (d * π / 180), C) → B'
  5. Ray(C, B') → f
  6. Rotate(C, (d * π / 180), A) → C'
  7. Ray(A, C') → g
  8. Rotate(A, (d * π / 180), B) → A'
  9. Ray(B, A') → h
  10. Point(Segment[C, B']) → D
  11. Circle(A, (e * Distance[A, C'])) → k
  12. Circle(B, (e * Distance[B, A'])) → p
  13. Intersect(k, g, 1) → E
  14. Intersect(p, h, 1) → F
  15. Line(D, a) → i
  16. Line(E, b) → j
  17. Line(F, c_1) → l
  18. Line(B, f) → m
  19. Line(A, h) → n
  20. Line(C, g) → q
  21. Intersect(j, q) → G
  22. Intersect(i, m) → H
  23. Intersect(l, n) → I
  24. Polygon(A, E, G, C) → q1, a_1, e_1, g_1, c_2
  25. Polygon(C, D, H, B) → q2, c_3, d_1, h_1, b_1
  26. Polygon(B, F, I, A) → q3, b_2, f_1, i_1, a_2
  27. Intersect(f_1, i_1) → J
  28. Midpoint(I, B) → K
  29. Midpoint(A, G) → L
  30. Midpoint(C, H) → M
  31. OrthogonalLine(C, a_2) → r
  32. Ray(B, H) → s
  33. Intersect(r, a_2) → N
  34. OrthogonalLine(D, b_1) → t
  35. Intersect(b_1, t) → O
  36. Line(D, H) → j_1
  37. Line(C, B) → k_1
  38. Circle(B, i_1) → p_1
  39. Intersect(p_1, j_1, 2) → P
  40. Dilate(H, If[0 < u ≤ 1, 1 - u, 0], P) → H'
  41. Vector(H, H') → v
  42. Translate(D, v) → D'
  43. Polygon(C, B, H', D') → q4, c_4, b_3, h', d'
  44. Line(C, D') → l_1
  45. Line(I, F) → m_1
  46. Line(N, h) → n_1
  47. Intersect(m_1, n_1) → Q
  48. Segment(N, Q) → r_1
  49. Segment(B, P) → s_1
  50. Polygon(Q, F, B, N) → q5, q_2, f_2, b_4, n_2
  51. Circle(B, b_4) → q_1
  52. Intersect(q_1, l_1, 1) → R
  53. Dilate(C, If[2 < u ≤ 3, 3 - u, 0], R) → C'_1
  54. Vector(C, C'_1) → w
  55. Translate(D', w) → D''
  56. Polygon(B, P, D'', C'_1) → q6, b_5, p_2, d'', c'_1
  57. Midpoint(Q, B) → S
  58. Angle(R, B, N) → α
  59. Rotate(B, If[4 < u ≤ 5, ((u - 4) * α), α], B) → B'_1
  60. Rotate(P, If[4 < u ≤ 5, ((u - 4) * α), α], B) → P'
  61. Rotate(D'', If[4 < u ≤ 5, ((u - 4) * α), α], B) → D'''
  62. Rotate(C'_1, If[4 < u ≤ 5, ((u - 4) * α), α], B) → T
  63. Polygon(B'_1, P', D''', T) → q6', b'_1, p', d''', t_1
  64. Dilate(N, If[5 < u ≤ 6, 6 - u, 0], Q) → N'
  65. Vector(N, N') → u_1
  66. Translate(B'_1, u_1) → U
  67. Translate(P', u_1) → P''
  68. Translate(D''', u_1) → V
  69. Translate(T, u_1) → T'
  70. Polygon(U, P'', V, T') → q6'', u_2, p'', v_1, t'
  71. Line(A, C) → g_2
  72. Line(E, G) → h_2
  73. Circle(C, Distance[A, J]) → d_2
  74. Intersect(d_2, h_2, 2) → W
  75. Dilate(G, If[7 < u ≤ 8, 8 - u, 0], W) → G'
  76. Vector(G, G') → w_1
  77. Translate(E, w_1) → E'
  78. Polygon(A, C, G', E') → q7, a_3, c_5, g', e'
  79. Circle(W, Distance[A, V]) → e_2
  80. Distance(C, W) → distanceCW
  81. Distance(A, I) → distanceAI
  82. Line(C, W) → i_2
  83. Circle(W, Distance[A, V]) → k_2
  84. Intersect(k_2, j_1, 1) → A_1
  85. Line(A, i_2) → j_2
  86. Intersect(j_2, h_2) → B_1
  87. Intersect(k_2, j_2, 1) → C_1
  88. Dilate(B_1, If[9 < u ≤ 10, 10 - u, 0], C_1) → D_1
  89. Vector(B_1, D_1) → v_2
  90. Translate(A, v_2) → A'_1
  91. Polygon(C, A'_1, D_1, W) → q8, l_2, m_2, r_2, s_2
  92. Dilate(A'_1, If[11 < u ≤ 12, 12 - u, 0], A) → E_1
  93. Vector(A'_1, E_1) → w_2
  94. Translate(C, w_2) → C'_2
  95. Translate(A'_1, w_2) → F_1
  96. Translate(D_1, w_2) → G_1
  97. Translate(W, w_2) → W'
  98. Polygon(C'_2, F_1, G_1, W') → q8', c'_2, t_2, f_3, w'
  99. Line(E_1, C'_2) → g_3
  100. Line(E_1, b_4) → h_3
  101. Point(h_3) → H_1
  102. Angle(H_1, E_1, C'_2) → β
  103. Distance(E_1, C'_2) → distanceE1C'2
  104. Distance(A, N) → distanceAN
  105. Rotate(C'_2, If[12 < u < 13, ((-(u - 12)) * β), (-β)], F_1) → I_1
  106. Rotate(F_1, If[12 < u < 13, ((-(u - 12)) * β), (-β)], F_1) → J_1
  107. Rotate(G_1, If[12 < u < 13, ((-(u - 12)) * β), (-β)], F_1) → K_1
  108. Rotate(W', If[12 < u < 13, ((-(u - 12)) * β), (-β)], F_1) → W''
  109. Polygon(I_1, J_1, K_1, W'') → q8'', i_3, j_3, k_3, w''
  110. Dilate(A, If[13 < u ≤ 14, 14 - u, 0], J) → A'_2
  111. Vector(A, A'_2) → u_3
  112. Translate(I_1, u_3) → L_1
  113. Translate(J_1, u_3) → M_1
  114. Translate(K_1, u_3) → N_1
  115. Translate(W'', u_3) → W'''
  116. Polygon(L_1, M_1, N_1, W''') → q8''', l_3, m_3, n_3, w'''
  117. Ray(E, G) → p_3
  118. Ray(D, H) → q_3
  119. Ray(C, B) → r_3
  120. Ray(A, C) → s_3
  121. Ray(C, D') → t_3
  122. Ray(B, H') → d_3
  123. Segment(A, E) → e_3
  124. Ray(A, B_1) → f_4
  125. Ray(C, W) → g_4
  126. Segment(C, D) → h_4
  127. Angle(A, C, B) → γ
  128. Polygon(A, C, B) → t2, b_6, a_4, c_6
  129. Segment(A, I) → i_4
  130. Segment(I, F) → j_4
  131. Segment(F, B) → k_4
  132. Segment(B, A) → l_4
  133. Segment(C, B) → m_4
  134. Segment(C, A) → n_4

AI 绘图提示语参考

绘制一个直角三角形，以斜边为直径作半圆，在圆弧上取一点作为直角顶点，连接形成三角形。以三角形三边为底边，分别向外构造三个相似平行四边形，其中两个较小的平行四边形面积之和等于较大的平行四边形。通过旋转射线和圆确定平行四边形的顶点，并添加可拖动的点或滑块以动态调整角度和比例，实时观察面积变化。最后，在图形中标注直角标记和关键线段，展示面积关系。
以上提示语为根据原始绘图命令整理而来，仅供参考。