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立方体上的追击曲线

立方体上的追击曲线
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2020-01-24 03:32
向量数列立体几何微积分轨迹
该范例在三维空间中演示了追击曲线（pursuit curve）在立方体表面上的动态生成过程。追击曲线是指一个点（追踪者）始终朝向另一个运动点（目标）移动所留下的轨迹，这里将经典的二维追击问题推广到立方体的棱与面上。核心数学概念包括向量、中点、多边形、序列迭代、旋转以及微积分中的极限与积分思想，通过迭代逼近追踪路径。作图要点：使用GeoGebra的Vector、Midpoint、Polygon、Sequence、Line、Rotate、Point、Cube等命令，构建立方体框架，并利用迭代（Iteration）对象逐步生成追踪点列，最终形成多条曲线（L1至L9）。适合高中至大学阶段的学生，用于理解空间几何、向量运算、迭代算法与极限概念，也可作为数学建模或计算机图形学的教学演示。

GeoGebra 命令及参数

  1. Vector((1, 0)) → u
  2. Midpoint(A, C) → O
  3. Polygon(A, B, C, D) → poly1, a, b, c, d
  4. Sequence(Rotate[Dilate[A, r^(n), O], (n * α), O], n, 1, Iteration) → L2
  5. Sequence(Rotate[Dilate[B, r^(n), O], (n * α), O], n, 1, Iteration) → L3
  6. Sequence(Rotate[Dilate[C, r^(n), O], (n * α), O], n, 1, Iteration) → L4
  7. Sequence(Rotate[Dilate[D, r^(n), O], (n * α), O], n, 1, Iteration) → L5
  8. Vector((0, 1)) → v
  9. Sequence(Segment[Rotate[Dilate[A, r^(n - 1), O], ((n - 1) * α), O], Rotate[Dilate[A + (Pas * u), r^(n - 1), O], ((n - 1) * α), O]], n, 1, Iteration) → L6
  10. Sequence(Segment[Rotate[Dilate[B, r^(n - 1), O], ((n - 1) * α), O], Rotate[Dilate[B + (Pas * v), r^(n - 1), O], ((n - 1) * α), O]], n, 1, Iteration) → L7
  11. Sequence(Segment[Rotate[Dilate[C, r^(n - 1), O], ((n - 1) * α), O], Rotate[Dilate[C - (Pas * u), r^(n - 1), O], ((n - 1) * α), O]], n, 1, Iteration) → L8
  12. Sequence(Segment[Rotate[Dilate[D, r^(n - 1), O], ((n - 1) * α), O], Rotate[Dilate[D - (Pas * v), r^(n - 1), O], ((n - 1) * α), O]], n, 1, Iteration) → L9
  13. Sequence(Polygon[Rotate[Dilate[A, r^(n), O], (n * α), O], Rotate[Dilate[B, r^(n), O], (n * α), O], Rotate[Dilate[C, r^(n), O], (n * α), O], Rotate[Dilate[D, r^(n), O], (n * α), O]], n, 1, Iteration, 2) → L1
  14. Sequence(Polygon[Element[L4, i], Element[L5, i], Element[L5, i + 1], Element[L4, i]], i, 1, Length[L4], 2) → liste1
  15. Sequence(Polygon[Element[L5, i], Element[L2, i], Element[L2, i + 1], Element[L5, i]], i, 1, Length[L4], 2) → liste2
  16. Sequence(Polygon[Element[L2, i], Element[L3, i], Element[L3, i + 1], Element[L2, i]], i, 1, Length[L2], 2) → liste3
  17. Sequence(Polygon[Element[L3, i], Element[L4, i], Element[L4, i + 1], Element[L3, i]], i, 1, Length[L4], 2) → liste4
  18. Line(A, B) → f
  19. Rotate(liste1, 90°, f) → liste1'
  20. Rotate(liste2, 90°, f) → liste2'
  21. Rotate(liste3, 90°, f) → liste3'
  22. Rotate(liste4, 90°, f) → liste4'
  23. Midpoint(A, C) → E
  24. Line(E, zAxis) → g
  25. Sequence(Rotate[liste1', i, g], i, 0, (2 * π), (2 * π / 4)) → l1
  26. Sequence(Rotate[liste2', i, g], i, 0, (2 * π), (2 * π / 4)) → l2
  27. Sequence(Rotate[liste3', i, g], i, 0, (2 * π), (2 * π / 4)) → l3
  28. Sequence(Rotate[liste4', i, g], i, 0, (2 * π), (2 * π / 4)) → l4
  29. Point(Circle[B, Distance[A, B], Segment[A, B]]) → F
  30. Cube(A, B, F) → e, G, faceFGKJ, faceHIJK, arêteAG, arêteAB, arêteBF, arêteFG, arêteAH, arêteGK, arêteHK, arêteHI, H, arêteBI, arêteIJ, arêteFJ, arêteJK, I, J, K, faceABFG, faceAGKH, faceABIH, faceBFJI
  31. Line(H, I) → h
  32. Rotate(liste1', 90°, h) → liste1''
  33. Rotate(liste2', 90°, h) → liste2''
  34. Rotate(liste3', 90°, h) → liste3''
  35. Rotate(liste4', 90°, h) → liste4''

AI 绘图提示语参考

绘制一个立方体，并在其表面上生成追逐曲线。首先建立一个立方体框架，然后在每个面上生成追逐路径，这些路径由一系列点组成，每个点都朝向目标点移动。通过旋转和迭代生成多个追逐曲线，最终在立方体的各个面上展示这些曲线。
以上提示语为根据原始绘图命令整理而来，仅供参考。