积极 AI Logo 积极 AI

利萨如曲线：圆柱上滚动的正弦波

利萨如曲线：圆柱上滚动的正弦波
几何画板及绘图内容加载中，请稍等……
2020-12-02 17:35
函数三角函数立体几何参数方程滑块动画
① 本范例通过三维可视化展示利萨如曲线（Lissajous curve）与圆柱面上正弦波滚动之间的几何等价关系，直观揭示二维参数曲线在三维空间中的构造本质。② 核心数学概念包括参数方程、正弦函数、圆柱面、曲线与曲面的交互，以及利萨如曲线的频率比与相位差对形状的影响。③ 作图要点：使用GeoGebra的Sequence、CurveCartesian、Surface、Segment、Midpoint等命令，构建振幅Amp、半径r、展开系数Expand、高度h、频率比n、相位phase等参数，通过滑块动态调整，并利用圆柱面与正弦波的交线生成利萨如曲线。④ 适合高中至大学阶段的数学教学，尤其适用于解析几何、三角函数与参数方程的综合应用，也可用于演示三维曲线与二维投影的关系。

GeoGebra 命令及参数

  1. Sequence(((-If[Expand ≤ 0.5, (((Expand * 2) * π) * r), (π * r)]) + If[t ≤ ((Expand * 2) * π), (t * r), (((Expand * 2) * π) * r) + (r * sin(t - ((Expand * 2) * π)))], (-r) + If[t ≤ ((Expand * 2) * π), 0, r - (r * cos(t - ((Expand * 2) * π)))], h / 2), t, 0, (2 * π), (2 * π / n)) → l1
  2. CurveCartesian((-If[Expand ≤ 0.5, (((Expand * 2) * π) * r), (π * r)]) + If[t ≤ ((Expand * 2) * π), (t * r), (((Expand * 2) * π) * r) + (r * sin(t - ((Expand * 2) * π)))], (-r) + If[t ≤ ((Expand * 2) * π), 0, r - (r * cos(t - ((Expand * 2) * π)))], t, 0, (2 * π)) → a
  3. CurveCartesian((-If[Expand ≤ 0.5, (((Expand * 2) * π) * r), (π * r)]) + If[t ≤ ((Expand * 2) * π), (t * r), (((Expand * 2) * π) * r) + (r * sin(t - ((Expand * 2) * π)))], (-r) + If[t ≤ ((Expand * 2) * π), 0, r - (r * cos(t - ((Expand * 2) * π)))], h, t, 0, (2 * π)) → c
  4. Surface((-If[Expand ≤ 0.5, (((Expand * 2) * π) * r), (π * r)]) + If[t ≤ ((Expand * 2) * π), (t * r), (((Expand * 2) * π) * r) + (r * sin(t - ((Expand * 2) * π)))], (-r) + If[t ≤ ((Expand * 2) * π), 0, r - (r * cos(t - ((Expand * 2) * π)))], s, t, 0, (2 * π), s, 0, h) → b
  5. Segment(((-If[Expand ≤ 0.5, (((Expand * 2) * π) * r), (π * r)]), (-r) + 0, 0), ((-If[Expand ≤ 0.5, (((Expand * 2) * π) * r), (π * r)]), (-r) + 0, h)) → f
  6. Segment(((-If[Expand ≤ 0.5, (((Expand * 2) * π) * r), (π * r)]) + (((Expand * 2) * π) * r) + (r * sin((2 * π) - ((Expand * 2) * π))), (-r) + r - (r * cos((2 * π) - ((Expand * 2) * π))), 0), ((-If[Expand ≤ 0.5, (((Expand * 2) * π) * r), (π * r)]) + (((Expand * 2) * π) * r) + (r * sin((2 * π) - ((Expand * 2) * π))), (-r) + r - (r * cos((2 * π) - ((Expand * 2) * π))), h)) → g
  7. Segment((0, (-r), 0), (0, (-r), h)) → i
  8. Sequence(Element[l1, i] + (0, 0, (Amp * sin(((0.1 * w) * i) - 1 + phase))), i, 1, Length[l1]) → l2
  9. Midpoint(f) → A
  10. Midpoint(g) → B
  11. Midpoint(A, B) → C
  12. Sequence(Segment[Element[l2, i], Element[l2, i + 1]], i, 1, Length[l2]) → l3

AI 绘图提示语参考

绘制一个 Lissajous 曲线，展示其与圆柱上滚动的正弦曲线的几何等价性。曲线由参数方程定义，包含一个可调节的振幅、半径、高度、频率比和相位差。首先生成曲线的 3D 表示，然后绘制其在 xy 平面的投影。接着，用线段连接投影曲线的起点和终点，并绘制连接这两点的中点。最后，用线段连接投影曲线上每相邻的点，形成连续的曲线。
以上提示语为根据原始绘图命令整理而来，仅供参考。