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黄金矩形构建二十面体

黄金矩形构建二十面体
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2017-04-20 03:16
立体几何变换几何作图
①本范例演示如何用三个黄金矩形通过旋转、镜像和构造多边形来构建一个二十面体；②涉及的核心数学概念包括黄金分割、立体几何、几何变换；③作图要点——从下方『构造摘要』提炼用到了 Rotate（旋转）、Mirror（镜像）、Polygon（多边形构造）等 GeoGebra 命令，以及对象 k, p, A, A'1, A', A'' 等；④适合高中及以上学生学习和理解立体几何的构造方法，也可用于数学竞赛或兴趣拓展。

GeoGebra 命令及参数

  1. Rotate(A, (-(90°)), yAxis) → A'_1
  2. Mirror(A, xOyPlane) → A'
  3. Rotate(A', (-(90°)), yAxis) → A''
  4. Rotate(B, (-(90°)), yAxis) → B'_1
  5. Mirror(B, xOyPlane) → B'
  6. Rotate(B', (-(90°)), yAxis) → B''
  7. Polygon(A'_1, B'_1, B'', A'') → poly2, a'_1, b'_1, b'', a''
  8. Polygon(A, B, B', A') → poly1, a, b, b', a'
  9. Rotate(poly1, (-(((k * 90))°)), yAxis) → poly1'
  10. Rotate(poly2, (((k - 1) * 90))°, zAxis) → poly2'
  11. Rotate(A'', 90°, zAxis) → A'''
  12. Rotate(B'', 90°, zAxis) → B'''
  13. Rotate(B'_1, 90°, zAxis) → C
  14. Rotate(A'_1, 90°, zAxis) → D
  15. Polygon(D, A''', B''', C) → poly3, d, a''', b''', c
  16. Rotate(poly3, (-((((k - 2) * 90))°)), yAxis) → poly3'
  17. Rotate(D, (-(90°)), yAxis) → D'
  18. Rotate(C, (-(90°)), yAxis) → C'
  19. Rotate(A''', (-(90°)), yAxis) → E
  20. Rotate(B''', (-(90°)), yAxis) → F
  21. Polygon(D', E, F, C') → poly4, d', e, f, c'
  22. Rotate(poly4, (((k - 3) * 90))°, zAxis) → poly4'
  23. Rotate(E, 90°, zAxis) → E'
  24. Rotate(F, 90°, zAxis) → F'
  25. Rotate(C', 90°, zAxis) → C''
  26. Rotate(D', 90°, zAxis) → D''
  27. Polygon(B, A, D) → poly5, d_1, b_1, a_1
  28. Polygon(B, A''', A) → poly6, a_2, b_2, a'''_1
  29. Polygon(A', B''', B') → poly7, b'_2, a'_2, b'''_1
  30. Polygon(A', C, B') → poly8, b'_3, a'_3, c_1
  31. Polygon(A, D'', C'') → poly9, c'', a_3, d''
  32. Polygon(D'', C'', A') → poly10, a'_4, d''_1, c''_1
  33. Polygon(F', B, E') → poly11, e', f', b_3
  34. Polygon(F', E', B') → poly12, b'_4, f'_1, e'_1
  35. Polygon(D, C, D'') → poly13, d''_2, d_2, c_2
  36. Polygon(D, E', C) → poly14, c_3, d_3, e'_2
  37. Polygon(A''', F', B''') → poly15, b'''_2, a'''_2, f'_2
  38. Polygon(A''', B''', C'') → poly16, c''_2, a'''_3, b'''_3
  39. Polygon(C'', F', E', D'') → poly17, c''_3, f'_3, e'_3, d''_3
  40. Polygon(A''', B, F') → poly18, f'_4, a'''_4, b_4
  41. Polygon(A, D, D'') → poly19, d''_4, a_4, d_4
  42. Polygon(B, D, E') → poly20, e'_4, b_5, d_5
  43. Polygon(A, A''', C'') → poly21, c''_4, a_5, a'''_5
  44. Polygon(C'', B''', A') → poly22, a'_5, c''_5, b'''_4
  45. Polygon(C, D'', A') → poly23, a'_6, c_4, d''_5
  46. Polygon(C, B', E') → poly24, e'_5, c_5, b'_5