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第10组：旋转与放大构造的分形图样

第10组：旋转与放大构造的分形图样
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2023-11-09 06:54
多边形变换几何作图
所属专题 长方体有多少个折纸图样？
该范例展示如何通过“旋转+缩放/放大(仿射式比例)”的重复构造，生成具有分形感与组合结构的图样序列。核心数学概念包括分形几何（自相似）、分段/迭代函数思想（由参数驱动的重复变换）、以及代数层面的参数与几何变换关系。作图要点：利用 GeoGebra 命令 Polygon 形成多边形主体，再用 Rotate 围绕特定点或向量完成旋转复制；通过参数化的点与变量（如 q1、q2、q3、q4… 及其带撇号版本 q2'、q4'、q5'、q6' 等）表达旋转前后对应位置，并以 Point 与旋转得到多层叠加的结构；对象中出现的 l、w、h、t、以及 button1、button2 表明尺寸与迭代步/阶段可交互控制，从而观察图样随参数变化的演化。适合中学高年级至大学预科的几何作图与动态几何课程，用于引入自相似分形、几何变换与迭代构造的直观理解。

GeoGebra 命令及参数

  1. Point(Ray[(1, 0), (3, 0)]) → A
  2. Point(Ray[A + (1, 0), A + (2, 0)]) → C
  3. Point(Ray[A + (0, 1), A + (0, 2)]) → B
  4. Polygon({(0, 0), A, B, (0, y(B))}) → q1
  5. Polygon({A, C, (x(C), y(B)), B}) → q2
  6. Polygon({((-w), w + h), ((-w), w), ((-w) - l, w), ((-w) - l, w + h)}) → q3
  7. Polygon({B, B + (0, h), B + ((-l), h), B + ((-l), 0)}) → q4
  8. Polygon({C, C + (l, 0), C + (l, w), C + (0, w)}) → q5
  9. Polygon({(0, w), (0, w + h), ((-w), w + h), ((-w), w)}) → q6
  10. Rotate(q4, (90° * t), Line[(0, w), B]) → q4'
  11. Rotate(q2, (90° * t), Line[B, A]) → q2'
  12. Rotate(Rotate[q5, (90° * t), Line[C + (0, w), C]], (90° * t), Line[B, A]) → q5'
  13. Rotate(Rotate[q6, (90° * t), Line[(0, w), (0, w + h)]], (90° * t), Line[(0, w), B]) → q6'
  14. Rotate(Rotate[Rotate[q3, (90° * t), Line[((-w), w), ((-w), w + h)]], (90° * t), Line[(0, w), (0, w + h)]], (90° * t), Line[(0, w), B]) → q3'

AI 绘图提示语参考

在平面中先取一条水平射线确定基点A，然后再由A向右与向上构造点C与B。以A、B并结合y(B)的高度画出一块多边形q1，并再用A、B、C与B的高度画出相邻的多边形q2。接着用参数w、h、l在基准位置画出一组矩形/折形多边形q3、q4、q5、q6。最后把q4绕过由(0,w)与B所确定的直线旋转90°·t得到q4′，再把q2绕过由B与A所确定的直线旋转得到q2′，同时对q5、q6以及q3分别进行一到两次90°·t的连续旋转，使这些多边形围绕所选轴形成迭代式、类似分形的旋转扩展图案。
以上提示语为根据原始绘图命令整理而来，仅供参考。