积极 AI Logo 积极 AI

雅可比行列式的几何意义演示

雅可比行列式的几何意义演示
几何画板及绘图内容加载中，请稍等……
2016-09-10 16:04
微积分导数矩阵变换轨迹
本范例演示了二维坐标变换中雅可比行列式的几何意义，即变换前后区域面积的缩放比例。涉及的核心数学概念包括多元微积分中的雅可比矩阵、导数以及面积计算。作图要点在于利用 GeoGebra 的 Line、Point、Sequence、Polygon、Locus、Derivative、Area 和 Dilate 等命令，构建原始图形及其变换后的对应图形，直观展示面积变化。适合大学微积分或数学分析课程的学生及教师使用，辅助理解抽象的数学定义。

GeoGebra 命令及参数

  1. Line(a, xAxis) → h
  2. Point(h) → A
  3. Sequence(CurveCartesian[x(a + (r * t) + ((ί * r) * k)), y(a + (r * t) + ((ί * r) * k)), t, -1, 1], k, -1, 1, 2 / n) → list1
  4. Sequence(CurveCartesian[x(a - (r * k) + ((ί * r) * t)), y(a - (r * k) + ((ί * r) * t)), t, -1, 1], k, -1, 1, 2 / n) → list2
  5. Sequence(CurveCartesian[x((a + (r * t) + ((ί * r) * k))^(2)), y((a + (r * t) + ((ί * r) * k))^(2)), t, -1, 1], k, -1, 1, 2 / n) → list3
  6. Sequence(CurveCartesian[x((a - (r * k) + ((ί * r) * t))^(2)), y((a - (r * k) + ((ί * r) * t))^(2)), t, -1, 1], k, -1, 1, 2 / n) → list4
  7. Polygon(B, B', 4) → poly1, i, j, k, l, C, D
  8. Point(poly1) → E
  9. Locus(z_2, E) → loc1
  10. Derivative(f, x) → xu
  11. Derivative(f, y) → xv
  12. Derivative(g, x) → yu
  13. Derivative(g, y) → yv
  14. Sequence((x(Element[list5, i]) + (ί * y(Element[list5, i])))^(2), i, 1, 16) → list6
  15. Polygon(list6) → poly2
  16. Area(z_1, z_3, z_4, z_5, z_1) → b
  17. Centroid(poly1) → F
  18. Circle(z_6, z_4) → p
  19. Line(z_6, xAxis) → m
  20. Line(z_6, yAxis) → q
  21. Intersect(p, q, 1) → H
  22. Line(H, xAxis) → s
  23. Intersect(p, m) → I, J
  24. OrthogonalLine(J, s) → f_1
  25. OrthogonalLine(z_4, f_1) → g_1
  26. Intersect(s, f_1) → L
  27. Intersect(f_1, g_1) → N
  28. OrthogonalLine(I, s) → t
  29. Intersect(g_1, t) → K
  30. Intersect(s, t) → M
  31. Polygon(M, L, 4) → poly3, h_1, i_1, j_1, k_1, O, P
  32. Dilate(M, 1.4, z_6) → M'
  33. Dilate(L, 1.4, z_6) → L'
  34. Dilate(N, 1.4, z_6) → N'
  35. Dilate(K, 1.3, z_6) → K'