用GeoGebra演示三角形内角和为何不一定等于180°

用GeoGebra演示三角形内角和为何不一定等于180°
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2020-09-17 16:14
该范例通过球面或非欧几何情境中的“球面三角形”,演示三角形内角之和并不总等于180°,从而说明角度和与所处空间度量有关。核心数学概念包括:球面几何/非欧几何下的三角形、圆弧与边界、角的度量与比较、以及利用构造得到的圆弧点与三角形顶点处的角度计算。作图要点:基于下方构造摘要中使用的几何对象与命令,创建空间视图中的点与连线/圆弧,再用多段圆弧界定球面三角形的边界;随后在顶点处用Angle测量内角;通过Line、Point、Polygon等对象组织顶点与边;必要时用Midpoint、Centroid用于辅助定位;并借助Sphere、Surface与CircumcircleArc、CircleArc来呈现球面圆弧边。适合中学高阶拓展、数学竞赛启蒙,以及对“欧几里得公理/度量改变”感兴趣的课堂演示或研究型自学。

GeoGebra 命令及参数

  1. Sequence(CurveCartesian[x(O) + (f(t) * sin(s)), y(O) - t, z(O) + (f(t) * cos(s)), t, Min, Max], s, ((0.8 * π) * Rot / 24), ((1.5 * π) * Rot / 24), π / dx) → l1
  2. Line(O, yAxis) → g
  3. Point(l1) → B
  4. Point(l1) → C
  5. Point(l1) → D
  6. Surface(x(O) + (f(t) * sin(s)), y(O) - t, z(O) + (f(t) * cos(s)), s, ((0.5 * π) * Rot / 24), ((1.5 * π) * Rot / 24), t, -2, 2) → a
  7. Sphere(A, 2) → b
  8. Point(l1) → E
  9. Point(l1) → F
  10. Point(l1) → G
  11. CircumcircleArc(B, E, C) → c
  12. CircumcircleArc(C, F, D) → d
  13. CircumcircleArc(B, G, D) → e
  14. PointIn(b) → H
  15. PointIn(b) → I
  16. CircleArc(A, H, I) → q
  17. Polygon(N, M, L, K) → q1, n, m, l, k_1
  18. PointIn(b) → J
  19. CircleArc(A, H, J) → p
  20. CircleArc(A, I, J) → r
  21. PointIn(q1) → P
  22. PointIn(q1) → Q
  23. PointIn(q1) → R
  24. Polygon(P, Q, R) → t1, r_1, p_1, q_1
  25. Angle(Q, P, R) → α
  26. Angle(P, R, Q) → β
  27. Angle(R, Q, P) → γ
  28. Ray(A, H) → i
  29. Point(q, 0.5 / q) → S
  30. Point(p, 0.5 / p) → T
  31. Point(r, 0.5 / r) → U
  32. Point(r, 2.5 / r) → V
  33. CircleArc(H, S, T) → s
  34. Point(q, 2 / q) → W
  35. CircleArc(I, U, W) → t
  36. Point(p, 2 / p) → Z
  37. CircleArc(J, Z, V) → c_1
  38. Point(c, 0.5 / c) → A_1
  39. Point(c, 2.5 / c) → B_1
  40. Point(d, 0.5 / d) → C_1
  41. Point(d, 2 / d) → D_1
  42. Point(e, 0.5 / e) → E_1
  43. Point(e, 2.5 / e) → F_1
  44. CircleArc(B, E_1, A_1) → d_1
  45. CircleArc(C, C_1, B_1) → e_1
  46. CircleArc(D, D_1, F_1) → f_1
  47. Midpoint(n) → G_1
  48. Centroid(t1) → H_1
  49. Midpoint(H, J) → K_1
  50. Midpoint(I, J) → L_1
  51. Midpoint(L_1, K_1) → M_1
  52. Midpoint(H, I) → N_1
  53. Midpoint(N_1, M_1) → O_1
  54. Midpoint(O_1, M_1) → P_1
  55. Ray(A, P_1) → j
  56. Intersect(j, b) → Q_1,
  57. Midpoint(C, D) → R_1
  58. Midpoint(B, D) → S_1
  59. Midpoint(R_1, S_1) → U_1

AI 绘图提示语参考

在三维球面/曲面上建立一个以球为载体的弧边“球面三角形”:先放置一条绕球的曲线并取多组点作为边界候选,再用以三点为约束的圆弧在三处生成三条弧形边,得到由三个圆弧围成的三角区域。选取球内的参考点与底部圆弧上的三点形成以球面为基础的圆弧轮廓,同时在三角区域的三个顶点位置处测量三个内角,分别记录角Q-P-R、P-R-Q与R-Q-P,用于与180°进行比较。
以上提示语为根据原始绘图命令整理而来,仅供参考。