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球面上的八点模型与双自由度

球面上的八点模型与双自由度
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2019-10-21 21:34
向量解析几何立体几何微积分最值优化
所属专题 ₉Extreme Verteilung der 8 Punkten auf der Kugel
①本范例演示了在球面上构建具有双自由度的八点模型；②涉及的核心数学概念包括向量、解析几何、立体几何、微积分和优化问题；③作图要点提炼自GeoGebra命令：使用Sphere、Circle、Translate、Ray、Segment、PolyLine、Zip、UnicodeToLetter、Point、Angle、Plane、Function、Sort、Unique、Polygon、Sequence、TableText、LaTeX等命令和对象；④适合高中及以上数学学习者，用于理解空间几何与计算几何的应用。

GeoGebra 命令及参数

  1. Sphere(O, R) → a
  2. Circle(O, r, xOyPlane) → c02
  3. Translate(A01, Vector[(0, 0, (-h))]) → A1
  4. Translate(A02, Vector[(0, 0, (-h))]) → A2
  5. Translate(A03, Vector[(0, 0, (-h))]) → A3
  6. Translate(A04, Vector[(0, 0, (-h))]) → A4
  7. Translate((r; α_1), Vector[(0, 0, h)]) → A5
  8. Translate((r; α_1 + 90°), Vector[(0, 0, h)]) → A6
  9. Translate((r; α_1 + 180°), Vector[(0, 0, h)]) → A7
  10. Translate((r; α_1 + 270°), Vector[(0, 0, h)]) → A8
  11. Ray(O, A1) → g1
  12. Segment(A1, A2) → seg12
  13. Segment(A1, A6) → seg16
  14. Segment(A1, A8) → seg18
  15. Segment(A1, A3) → seg13
  16. Segment(A1, A5) → seg15
  17. Segment(A1, A7) → seg17
  18. Segment(A2, A5) → seg25
  19. PolyLine(A1, A2, A3, A4, A1) → Poly2
  20. PolyLine(A5, A6, A7, A8, A5) → Poly1
  21. PolyLine({A1, A5, A2, A6, A3, A7, A4, A8, A1}) → Poly3
  22. Zip((A1 + a) / 2, a, {A2, A5, A8, A3, A7, A6}) → l6
  23. UnicodeToLetter(34) → u34
  24. Point(c1) → D
  25. Angle((0, 0, R), O, D) → δ
  26. Segment(O, D) → seg0
  27. Plane(z = 1.480440157243445) → Pl_{Lö1}
  28. Plane(z = 1.481181823885057) → Pl_{Lö2}
  29. Function(P(u, v), u, -1°, 60°, v, -1°, 90°) → m
  30. Plane(z = h) → Obere
  31. PolyLine(A01, A02, A03, A04, A01) → Poly02
  32. Zip(Segment[A1, a], a, {A2, A5, A8, A3, A7, A6}) → l5
  33. Sort(Join[Sequence[Sequence[Segment[lA(i), lA(j)], j, i + 1, 8], i, 1, 8]]) → Länge
  34. Unique(Zip[floor((a * 10000)) / 10000, a, Länge]) → Länge0
  35. Polygon({(-1°, -1°), (60°, -1°), (60°, 90°), (-1°, 90°), (-1°, -1°)}) → Poly_{αθ}
  36. Sequence(Sum[Sequence[If[abs(Länge0(i) - Länge(k)) < 0.01, 1, 0], k, 1, 28]], i, 1, Length[Länge0]) → m2
  37. TableText(Append["i", 1…Length[Länge0]], Append["n^*", m2], Append["a_i", Länge0], "v") → text8a
  38. Zip(Ray[O, a], a, lA) → lR
  39. Sequence((0, 0, 0) + ((1.5 * R) * UnitVector[Sum[Zip[UnitVector[lA(i) - a], a, lA \ {lA(i)}]]]), i, 1, 8) → lB
  40. Zip(Vector[a, b], a, lA, b, lB) → lU
  41. Zip(Text[a, P, true, true], P, l6, a, 1…8) → l7
  42. LaTeX(seg16, true, true) → text8
  43. Zip(Angle[a, O, b], a, lA, b, lB) → lβ
  44. Sequence((0, 0, 0) - ((1.5 * R) * UnitVector[(1 / 7 * Sum[lA \ {lA(i)}])]), i, 1, 8) → lGC
  45. Zip(Angle[a, O, b], a, lA, b, lGC) → lβGZ
  46. Sequence(Vector[lA(i), lGC(i)], i, 1, 8) → lUGZ1
  47. TableText(Append["i", 1…8], Append["\fgcolor{orange}{βi-GM}", lβ], Append["\fgcolor{magenta}{βi-GC}", lβGZ], "v") → text4

AI 绘图提示语参考

在一个球体上绘制一个八点模型，包含两个自由度。首先画出球体和球面上的一个圆。然后将圆上的点沿垂直方向上下平移，得到八个点。连接这些点形成两个五边形和一个八边形。再连接特定点对形成线段，构成复杂的几何结构。最后标注角度和长度，并用不同颜色区分关键线段。
以上提示语为根据原始绘图命令整理而来，仅供参考。