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用同一构造同时生成圆、椭圆与双曲线的包络

用同一构造同时生成圆、椭圆与双曲线的包络
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2024-06-08 17:08
圆几何作图轨迹
所属专题 History of Maths
本范例演示如何用一个统一的几何构造，把圆、椭圆与双曲线作为“包络曲线/驻点集合”来生成与对比。核心数学概念包括：轨迹与包络（envelope / locus）、二次曲线的刻画、切线与法线关系（切线、正交线）、以及通过参数旋转与交点得到二次曲线的集合性质。作图要点：利用 Polygon、Point、Segment、LineBisector 构造几何基准，再用 Circle 给出圆与若干关键点位置；通过 Intersect 求解切线与直线的交会；使用 Rotate 与 Tangent 建立随参数变化的切线方向；用 OrthogonalLine 形成法线/垂线约束；最后分别生成 Hyperbola 与 Ellipse，并由对应的对象（如 envel、envelope 相关的集合量）显示三种曲线作为包络的效果。适合高中到大学的解析几何、几何作图课程教学与课堂演示，也适用于培养学生用动态几何理解二次曲线性质的可视化建模能力。

GeoGebra 命令及参数

  1. Polygon({(-12, -4.5), (13, -4.5), (13, 8.5), (-12, 8.5)}) → peep
  2. Circle(O, 8) → c
  3. Point(c) → A
  4. Segment((-14, 0), (14, 0)) → domF
  5. Point(domF) → F
  6. Segment(F, A) → g
  7. LineBisector(g) → envel
  8. Intersect(envel, g) → I
  9. Segment(F, I) → f
  10. Segment(I, A) → h
  11. Rotate(F, 90°, I) → F'
  12. Angle(F, I, F') → α
  13. Tangent(A, c) → tgA,
  14. OrthogonalLine(A, tgA) → normA
  15. Intersect(envel, normA) → E
  16. Angle(tgA, normA) → β
  17. Hyperbola(F, O, Radius[c] / 2) → ip
  18. Ellipse(F, O, Radius[c] / 2) → d

AI 绘图提示语参考

绘制一个包含圆、椭圆和双曲线的图形。首先画一个矩形，然后以矩形的一个顶点为圆心画一个圆。接着在圆上取一个点，通过这个点画圆的切线，并作这条切线的垂线。旋转垂线上的点，使其与切线形成角度。利用垂线和切线的交点，构造双曲线和椭圆，最后调整参数观察三种曲线的变化。
以上提示语为根据原始绘图命令整理而来，仅供参考。